Diferențiale sunt ce? Cum să găsim diferența unei funcții?

Împreună cu derivatele funcțiilor, diferențele lor sunt unul dintre conceptele de bază calculul diferențial,

Originea noțiunii de diferențial

Pentru prima dată, el a explicat ce este un diferențial, unul dintre creatorii (alături de Isaac Newton) a calculului diferențial, faimosul matematician german Gottfried Wilhelm Leibniz. Înainte de acest matematicieni 17 art. folosit idee foarte neclară și vagă a unor „nedivizată“ infinitezimal orice funcție cunoscută, reprezentând o valoare constantă foarte mică, dar nu este egal cu zero, sub care valorile funcția nu poate fi pur și simplu. Acesta a fost doar cu un pas înainte de introducerea noțiunii de creșteri infinitezimale în argumentele funcțiilor și incrementările corespunzătoare ale funcțiilor, exprimate în termeni de derivați ai acestora din urmă. Și acest pas a fost făcut aproape simultan de cei doi oameni de știință menționați mai sus.

Bazat pe necesitatea de a aborda urgente probleme practice de mecanica cu care se confruntă știința rapid dezvoltarea industriei și tehnologiei, Newton și Leibniz a creat comune modalități de a găsi funcțiile de rata de schimbare (în special în ceea ce privește viteza mecanică a corpului cunoscut traiectoriei), care a dus la introducerea unor astfel de concepte, ca funcția derivată și diferențial, și de asemenea găsit algoritmul inverse soluțiile problemei ca cunoscută per se (variabilă), vitezele traversate pentru a găsi calea care a dus la conceptul integral Ala.

În scrierile lui Leibniz și Newton, sa constatat mai întâi că diferențele sunt proporționale cu creșterile argumentelor Delta-x părți principale ale incrementelor de funcții Delta-y, care poate fi aplicată cu succes pentru a calcula valorile ultimului. Cu alte cuvinte, au descoperit că creșterea unei funcții poate fi exprimată în orice punct (în domeniul definiției sale) prin derivatul său ca Delta-y = y `(x) Delta-x + alfa-Delta-x, unde alfa- Delta-x este termenul rest, care tinde la zero când Delta-x → 0, mult mai rapid decât sinele Delta-x.

Potrivit fondatorilor matanalizei, diferențialele sunt doar primii termeni în expresiile pentru creșterile oricărei funcții. Încă nu au un concept clar formulat al limitei secvențelor, au înțeles intuitiv că valoarea diferențialului tinde spre derivatul funcției Delta-x → 0 - Delta-y / Delta-x → y `(x).

Spre deosebire de Newton, care a fost în primul rând un fizician și un aparat matematic considerat ca un instrument auxiliar pentru studiul de probleme fizice, Leibniz acordat mai multă atenție acestui set de instrumente, inclusiv un sistem de simboluri vizuale și ușor de înțeles valori matematice. El este cel care a propus notatia standard a functiei diferentiale dy = y `(x) dx, dx și derivata funcției argument ca relația y lor` (x) = dy / dx.

Definiție modernă

Care este diferența în termeni de matematică modernă? Este strâns legată de noțiunea de creștere a unei variabile. Dacă variabila y are valoarea y = y₁, și apoi y = y₂, atunci diferența y₂ ─ y₁ se numește creșterea y. Creșterea poate fi pozitivă. negativ și egal cu zero. Cuvântul "increment" este notat cu Delta-, înregistrează-te Delta-y (citiți "delta joc") înseamnă increment de y. așa că Delta-y = y₂ ─ y₁.

Dacă valoarea Delta-y a unei funcții arbitrare y = f (x) poate fi reprezentată ca Delta-y = A Delta-x + alfa, unde A nu depinde Delta-x, adică A = const pentru un x dat și summand alfa-at Delta-x → 0 tinde să fie chiar mai repede decât sinele Delta-x, atunci primul ("principal") termen proporțional cu Delta-x, și este pentru y = f (x) oboznachaemymdy diferențială sau df (x) (a se citi "y de", "de eff din X"). Prin urmare, diferențialele sunt "principale" liniare în ceea ce privește Componentele Delta-x ale incrementărilor funcțiilor.

Interpretare mecanică

Fie s = f (t) distanța unei mișcări liniar punct material din poziția inițială (t este timpul petrecut în tranzit). crește Delta-s este calea unui punct într-un interval de timp Delta-t și diferența ds = f `(t) Delta-t este calea pe care un punct ar fi trecut în același timp Delta-t dacă a păstrat viteza f `(t) atinsă la momentul t. Cu un infinitesimally mic Delta-t mod imaginar ds diferă de adevărat Delta-uri la o valoare infinitezimală, având o ordine mai mare față de Delta-T. Dacă viteza la momentul t nu este zero, atunci ds dă o valoare aproximativă a deplasării mici a punctului.

Interpretare geometrică

Fie linia L graficul lui y = f (x). atunci Delta-x = MQ, Delta-y = QM "(vezi figura de mai jos). Tangentul MN împarte segmentul Delta-y în două părți, QN și NM `. Primul este proporțional Delta-x și este egal cu QN = MQ ∙ tg (unghiul QMN) = Delta-x f `(x), adică QN este diferența dy.

A doua parte este diferența Delta-y ─ dy, cu Delta-x → 0 lungimea lui NM "scade chiar mai repede decât creșterea argumentului, adică ordinea lui de micșorare este mai mare decât cea a Delta-x. În cazul în cauză, pentru f `(x) 0 ne- (tangentă nu este paralelă cu OX) QM`i QN sunt segmente echivalente cu alte cuvinte NM „scade rapid (ordinea micimea sale mai mari) decât incrementul totală Delta-y = QM ". Acest lucru este văzut în figură (cu abordarea lui M`kM, segmentul NM "este un procent din ce în ce mai mic al segmentului QM").

Astfel, grafic diferențialul unei funcții arbitrare este egal cu magnitudinea creșterii ordinii tangentei sale.

Derivat și diferențial

Coeficientul A din primul termen al expresiei pentru incrementarea unei funcții este egal cu derivatul său f `(x). Astfel, următoarea relație este valabilă: dy = f (x) Delta-x sau df (x) = f (x) Delta-x.

Se știe că creșterea unui argument independent este egală cu diferența sa Delta-x = dx. În consecință, putem scrie: f `(x) dx = dy.

Constatarea (uneori, a "soluției") de diferențiale este îndeplinită de aceleași reguli ca și derivatele. Lista acestora este prezentată mai jos.

Ce este mai universal: creșterea argumentului sau a diferenței sale

Aici este necesar să se facă unele explicații. Reprezentarea f `(x) a diferenței Delta-x este posibilă atunci când x este considerată ca argument. Dar funcția poate fi complexă, în care x poate fi o funcție a unui argument t. Apoi, ca regulă, reprezentarea diferenței prin expresia f `(x) Delta-x este imposibilă, cu excepția cazului dependenței liniare x = at + b.

În ceea ce privește formula f `(x) dx = dy, atunci în cazul unui argument independent x (atunci dx = Delta-x), iar în cazul dependenței parametrice a x pe t, ea reprezintă o diferență.

De exemplu, expresia 2 x Delta-x reprezintă pentru y = x² diferența lui, atunci când x este un argument. Acum setăm x = t² și să considere un argument. Apoi y = x² = t⁴.

Apoi urmează (t + Delta-t)² = t² + 2tDelta-t + Delta-T². De aici Delta-x = 2t Delta-t + Delta-T². De aici: 2xDelta-x = 2t² (2tDelta-t + Delta-T² ).

Această expresie nu este proporțională Delta-t și astfel acum 2xDelta-x nu este un diferențial. Se poate găsi din ecuația y = x² = t⁴. Se dovedește a fi dy = 4t³Delta-T.

Dacă luăm expresia 2xdx, atunci ea reprezintă diferența y = x² pentru orice argument t. Într-adevăr, pentru x = t² obținem dx = 2tDelta-t.

Prin urmare, 2xdx = 2t²2tDelta-t = 4t³Delta-t, adică expresiile pentru diferențialele scrise prin două variabile diferite coincid.

Încărcări de înlocuire cu diferențiale

Dacă f `(x) ne-0, atunci Delta-y și dy sunt echivalente (pentru Delta-x → 0) - pentru f `(x) = 0 (ceea ce înseamnă dy = 0), ele nu sunt echivalente.

De exemplu, dacă y = x², Delta-y = (x + Delta-x)² ─ x²= 2xDelta-x + Delta-x², și dy = 2xDelta-x. Dacă x = 3, atunci avem Delta-y = 6 Delta-x + Delta-x² și dy = 6Delta-x, care sunt echivalente datorită Delta-x²→ 0, pentru x = 0, cantitățile Delta-y = Delta-x² și dy = 0 nu sunt echivalente.

Acest fapt, împreună cu structura simplă a diferențialului (adică, liniar cu privire la Delta-x), este adesea folosit în calcule aproximative, presupunând că Delta-y asymp-dy pentru mici Delta-x. Găsirea diferenței unei funcții este de obicei mai ușoară decât calcularea valorii exacte a incrementului.

De exemplu, avem un cub metalic cu o margine x = 10.00 cm. Atunci când este încălzit, muchia este alungită de Delta-x = 0.001 cm. Cât a crescut volumul V al cubului? Avem v = x², astfel încât dV = 3x²Delta-x = 3 ∙ 10²∙ 0/01 = 3 (cm³). Creșterea volumului Delta-V este echivalentă cu diferența dV, astfel încât Delta-V = 3 cm³. Un calcul complet ar da Delta-V = 10.01³ ─ 10³ = 3.003001. Dar, în acest rezultat, toate numerele, cu excepția primelor mijloace nesigure, oricum, trebuie să le rotunji la 3 cm³.

Evident, o astfel de abordare este utilă numai dacă este posibil să se estimeze magnitudinea erorii introduse.

Diferența funcției: exemple

Să încercăm să găsim diferența funcției y = x³, nu găsirea unui derivat. Să dăm argumentul o creștere și să definim Delta-y.

Delta-y = ( Delta-x + x)³ ─ x³ = 3x²Delta-x + (3xDelta-x² + Delta-x³).

Aici coeficientul A = 3x² nu depinde de Delta-x, astfel încât primul termen este proporțional cu Delta-x, un alt membru al 3xDelta-x² + Delta-x³la Delta-x → 0 scade mai repede decât incrementul argumentului. Prin urmare, termenul de 3x²Delta-x este diferența y = x^3:

dy = 3x²Delta-x = 3x²dx sau d (x³) = 3x²dx.

Mai mult, d (x³) / dx =3x².

Acum găsim dy a funcției y = 1 / x în termenii derivatului său. Apoi d (1 / x) / dx = ─ 1 / x². Prin urmare, dy = ─ Delta-x / x².

Diferențele dintre funcțiile de bază algebrice sunt date mai jos.

Calcule aproximative utilizând diferențialul

Nu este dificil să se calculeze funcția f (x), precum și derivatul f `(x) pentru x = a, dar nu este ușor să faci același lucru în vecinătatea punctului x = a. Apoi, o expresie aproximativă vine la salvare

f (a + Delta-x) asymp-f `(a) Delta-x + f (a).

Acesta oferă o valoare aproximativă a funcției la incrementări mici Delta-x prin diferența lui f `(a) Delta-x.

În consecință, această formulă oferă o expresie aproximativă a funcției la punctul final al unei secțiuni de lungime Delta-x ca suma valorii sale la punctul de pornire al acestei secțiuni (x = a) și diferența la același punct de plecare. Eroarea în acest mod de determinare a valorii funcției este ilustrată în figura de mai jos.

Cu toate acestea, o expresie exactă pentru valoarea funcției pentru x = a + Delta-x, dată de formula incrementelor finite (sau, cu alte cuvinte, cu formula Lagrange)

f (a + Delta-x) asymp-f `(xi) Delta-x + f (a),

unde punctul x = a + xi este pe segmentul de la x = a la x = a + Delta-x, deși poziția exactă este necunoscută. Formula exactă face posibilă estimarea erorii formulei aproximative. Dacă în formula Lagrange am pus xi = Delta-x / 2, atunci, deși nu mai este exactă, ea oferă, de obicei, o aproximare mult mai bună decât expresia originală prin diferențial.

Estimarea erorii formulelor folosind diferențialul

Instrumente de măsură în principiu, inexacte și să introducă în datele de măsurare erorile corespunzătoare. Ele se caracterizează prin limitarea eroare absolută, sau, mai pe scurt, eroarea marginală - un număr pozitiv, care depășește cu siguranță această eroare în valoare absolută (sau în cazuri extreme, egală cu ea). Ultimate eroare relativă numită coeficientul divizării sale cu valoarea absolută a valorii măsurate.

Să formula exactă y = f (x) funcție utilizată pentru vychislyaeniya y, dar valoarea lui x este rezultatul măsurării, și, prin urmare, aduce eroarea y. Apoi, pentru a găsi eroarea absolută limitativă a funcției │zwnj-zwnj-Delta y, utilizați formula

│zwnj-zwnj-Delta-u│asymp-│zwnj-zwnj-dy│ = │ f „(x) ││Delta-h│,

unde │Delta-x este eroarea limitativă a argumentului. Valoarea lui │zwnj-zwnj-Delta-y ar trebui rotunjită în sus, deoarece este inexactă înlocuirea calculului incrementului cu calculul diferenței.