Linia de coordonate. Puncte pe linia de coordonate. Cum se construiește o linie de coordonate

A susține că știți că matematica este imposibilă dacă nu știți cum să construiți grafică, să reprezentați inegalitățile pe linia de coordonate, să lucrați cu axele de coordonate. Componenta vizuală din știință este foarte importantă, deoarece fără exemple evidente în formule și calcule, uneori se poate face foarte confuz. În acest articol, vom examina cum să lucrăm cu axele de coordonate și să învățăm cum să construim grafice de funcții simple.

cerere

Linia de coordonate este baza celor mai simple tipuri de grafice pe care studentul le întâlnește pe calea educațională. Este folosit în aproape fiecare subiect matematic: atunci când se calculează viteza și timpul, proiectarea dimensiunile obiectelor și calcularea zona lor, în trigonometria atunci când se utilizează sinus și cosinus.

Valoarea principală a unei astfel de linii drepte este vizibilitatea. Deoarece matematica este o știință în care este necesar un nivel ridicat de gândire abstractă, graficele ajută la reprezentarea unui obiect în lumea reală. Cum se comportă el? În ce punct al spațiului va fi în câteva secunde, minute, ore? Ce puteți spune despre el în comparație cu alte obiecte? Ce viteză are la un moment aleator ales în timp? Cum să-i caracterizezi mișcarea?

Și despre viteză nu este fără motiv - este adesea afișat grafice ale funcției. Și pot afișa și o schimbare a temperaturii sau a presiunii în interiorul obiectului, dimensiunile acestuia, orientarea față de orizont. Astfel, este adesea necesară construirea unei linii de coordonate în fizică.

Un grafic unidimensional

Există noțiunea de multidimensionalitate. În spațiul unidimensional, doar un singur număr este suficient pentru a determina locația punctului. Acest lucru este valabil doar în cazul utilizării liniei de coordonate. Dacă spațiul este bidimensional, atunci sunt necesare două numere. Graficele de acest tip sunt folosite mult mai des, iar un pic mai departe în articol le vom lua în mod necesar în considerare.

Ce puteți vedea cu ajutorul punctelor de pe axă, dacă este doar unul? Puteți vedea dimensiunea obiectului, poziția sa în spațiu cu privire la un "zero", adică punctul ales ca punct de referință.

Schimbarea parametrilor în timp nu poate fi văzută, deoarece toate indicațiile vor fi afișate pentru un anumit moment. Dar cu ceva ce trebuie să începeți! Deci, să începem.

Cum se construiește o axă de coordonate

În primul rând, trebuie să trasăm o linie orizontală - aceasta va fi axa noastră. În partea dreaptă, ascuți-o pentru a arăta ca o săgeată. Astfel, indicăm direcția în care vor crește numerele. În direcția reducerii, săgeata nu este de obicei setată. În mod tradițional, axa este îndreptată spre dreapta, așa că urmăm doar această regulă.

Am pus un marcaj zero care va afișa originea coordonatelor. Acesta este locul de unde contezi, indiferent dacă e vorba de dimensiune, greutate, viteză sau orice altceva. În plus față de zero, trebuie să desemnem întotdeauna așa-numitul preț al divizării, adică introducerea standardului unității, conform căruia vom amâna anumite cantități pe axă. Acest lucru trebuie făcut pentru a putea găsi lungimea unui segment pe linia de coordonate.

Prin intermediul unei distanțe egale una de alta, punem punctele sau "crestăturile" pe linie, iar sub ele scriem 1,2,3 și așa mai departe. Și acum totul este gata. Dar, cu programul rezultat, trebuie să înveți cum să lucrezi.

Tipuri de puncte de pe linia de coordonate

La prima vedere, desenele sugerate în manuale devin clare: punctele de pe axă pot fi vopsite sau nu vopsite. Crezi că este un accident? Nu deloc! Un punct "solid" este folosit pentru o inegalitate non-strictă - un volum care este citit ca "mai mare sau egal cu". Dacă este necesar să se limiteze strict intervalul (de exemplu, "x" poate lua valori de la zero la unu, dar nu îl include), folosim un punct "gol", adică un cerc mic pe axă. Trebuie remarcat faptul că elevii nu le plac inegalitățile stricte, deoarece sunt mai greu de lucrat.

În funcție de punctele pe care le utilizați pe diagramă, intervalele construite vor fi de asemenea apelate. Dacă inegalitatea nu este strictă pe ambele părți, atunci obținem un segment. Dacă, pe de o parte, este "deschisă", atunci se va numi un interval de jumătate. În cele din urmă, dacă o parte a unei linii drepte este mărginită de două laturi prin puncte goale, se va numi un interval.

avion

La construirea a două linii pe planul de coordonate putem lua în considerare deja graficele funcțiilor. De exemplu, linia orizontală va fi axa timpului, iar linia verticală va fi distanța. Și acum suntem capabili să determinăm la ce distanță să depășească obiectul într-un minut sau o oră de drum. Astfel, lucrul cu un avion face posibilă monitorizarea stării obiectului. Acest lucru este mult mai interesant decât explorarea unei stări statice.

Graficul cel mai simplu pe un astfel de plan este o linie dreaptă, reflectând funcția Y (X) = aX + b. Este linia îndoită? Acest lucru înseamnă că obiectul își schimbă caracteristicile în procesul de cercetare.

Imaginați-vă că sunteți pe acoperișul clădirii și ținând o piatră în mâna întinsă. Când îl eliberați, va zbura în jos, pornind de la viteza zero. Dar într-o secundă va depăși 36 kilometri pe oră. Piatra va continua să accelereze în continuare, și pentru a atrage mișcarea pe grafic, va trebui să măsurați viteza la mai multe puncte în timp, punând punctele pe axă în locurile corespunzătoare.

Semnele de pe linia de coordonate orizontală sunt denumite în mod implicit X1, X2, X3, iar pe coordonatele verticale - Y1, Y2, Y3, respectiv. Proiectându-le pe un avion și găsind intersecții, găsim fragmente ale modelului rezultat. Prin combinarea lor cu o singură linie, obținem un grafic al funcției. În cazul unei pietre care se încadrează, funcția patratică va avea forma: Y (X) = aX * X + bX + c.

scară

Desigur, nu este necesar să afișați valori întregi lângă diviziunile de pe linie. Dacă vă gândiți la mișcarea unui melc, care se umflă la o viteză de 0,03 metri pe minut, setați valorile pe linia dreaptă a coordonatelor ca fracțiuni. În acest caz, setați prețul divizării la 0,01 metri.

Este deosebit de convenabil să realizați astfel de desene într-un notebook într-o cușcă - aici puteți vedea imediat dacă există suficient spațiu pe foaia pentru programul dvs., indiferent dacă veți părăsi câmpurile. Rezistența sa de a calcula este simplă, deoarece lățimea celulei într-un astfel de notebook este de 0,5 centimetri. A fost necesar - a redus cifra. Din modificarea scării graficului, nu va pierde și nu-și va schimba proprietățile.

Coordonatele unui punct și ale unui segment

Atunci când este prezentată o problemă matematică în lecție, ea poate conține parametrii diverselor figuri geometrice, ambele sub formă de lungimi de laturi, perimetru, zonă și sub formă de coordonate. În acest caz, este posibil să aveți nevoie să construiți o figură și să obțineți unele date referitoare la aceasta. Se pune întrebarea: cum să găsiți informațiile necesare pe linia de coordonate? Și cum să construiești o figură?

De exemplu, vorbim despre un punct. Apoi, majusculă va apărea în starea problemei și în paranteze vor fi mai multe cifre, de obicei două (ceea ce înseamnă că vom fi numărați în spațiu bidimensional). Dacă există trei cifre în paranteze scrise prin punct și virgulă sau virgulă, acesta este un spațiu tridimensional. Fiecare dintre valori este coordonata pe axa corespunzătoare: mai întâi de-a lungul orizontului (X), apoi pe verticala (Y).

Amintiți-vă cum să construiți o piesă? Ai trecut prin asta pe geometrie. Dacă există două puncte, atunci puteți trasa o linie dreaptă între ele. Coordonatele acestora sunt indicate în paranteze, dacă apare un segment în problemă. De exemplu: A (15, 13) - B (1, 4). Pentru a construi o astfel de linie, trebuie să găsiți și să marcați punctele pe planul de coordonate și apoi să le conectați. Asta e tot!

Iar orice poligon, după cum știți, poate fi desenat cu ajutorul unor segmente de linie. Problema este rezolvată.

calcule

Să presupunem că există un obiect a cărui poziție de-a lungul axei X se caracterizează prin două numere: începe în punctul cu coordonatele (-3) și se termină la (+2). Dacă vrem să știm lungimea acestui obiect, atunci trebuie să scăpăm de la numărul mai mic. Rețineți că un număr negativ absoarbe semnul de scădere, deoarece "minus a minus dă un plus". Deci, adăugăm (2 + 3) și obținem 5. Acesta este rezultatul cerut.

Un alt exemplu: ni se dă punctul final și lungimea obiectului, dar nu și cel inițial (și este necesar să îl găsim). Fie poziția punctului cunoscut (6) și dimensiunea obiectului studiat - (4). Prin scăderea lungimii de la coordonatele finite, primim răspunsul. Total: (6 - 4) = 2.

Numere negative

Este adesea necesar să se lucreze cu valori negative în practică. În acest caz, vom merge de-a lungul axei de coordonate spre stânga. De exemplu, un obiect de 3 cm înălțime plutește în apă. În al treilea rând, el este scufundat în lichid, două treimi sunt în aer. Apoi, alegând suprafața apei ca axă, folosim două numere elementare pentru a calcula suprafața obiectului: partea superioară a obiectului are o coordonată (+2), iar cea inferioară (-1) centimetru.

Este ușor de observat că, în cazul unui avion, avem patru sferturi din linia de coordonate. Fiecare dintre ele are propriul număr. Primul (dreapta sus) partea punctului va fi plasat având două coordonate pozitive în al doilea - stânga sus, - valorile „X“ axa va fi negativ, iar pe „y“ - pozitiv. Al treilea și al patrulea sunt contorizate în sens contrar acelor de ceasornic.

Proprietate importantă

Știți că o linie dreaptă poate fi reprezentată ca un set infinit de puncte. Putem vedea orice număr de valori la fel de mult pe cât ne dorim la fiecare parte a axei, dar nu vom întâlni cele repetitive. Acest lucru pare naiv și ușor de înțeles, dar această afirmație rezultă dintr-un fapt important: fiecărui număr există un singur punct pe linia de coordonate.

concluzie

Amintiți-vă că orice axă, formă și, dacă este posibil, grafică trebuie construite în funcție de riglă. Unitățile de măsurători au fost inventate de o persoană nu întâmplător - făcând o greșeală în redactare, riscați să vedeți că nu este imaginea care ar fi trebuit să se fi dovedit.

Fiți atent și atent la construirea de grafice și calcule. Ca orice știință studiat la școală, matematica iubește precizia. Atașați puțin efort, iar notele bune nu vor dura mult.