Puncte de extremă ale unei funcții. Cum să găsiți puncte extreme. Sumă de puncte extreme

Un concept important în matematică este funcția. Cu ajutorul său, puteți vizualiza multe procese care apar în natură, reflectând folosind formulele, tabelele și imaginile de pe grafic relația dintre anumite valori. Un exemplu este dependența stratului de presiune în stare lichidă pe corpul adâncimii de imersie, accelera - acțiunea forței la un anumit obiect, creșterea temperaturii - a energiei transmise, și multe alte procese. Studiul funcției presupune construirea unui grafic, elucidarea proprietăților sale, domeniul definirii și valorilor, intervalele de creștere și descreștere. Un punct important în acest proces este găsirea punctelor extreme. Despre cum să procedați corect, și vor continua conversația.

Despre chiar conceptul unui exemplu specific

În medicină, complotarea funcției poate spune despre evoluția bolii în corpul pacientului, reflectând vizual starea sa. Să presupunem că axa timpului este reprezentată grafic pe axa OX și temperatura corpului uman de-a lungul axei OY. Cifra arată în mod clar modul în care acest indicator crește brusc și apoi scade. De asemenea, nu este dificil să observi puncte singulare care reflectă momentele în care funcția, începând să crească, începe să scadă și invers. Acestea sunt puncte extremum, adică valori critice (maximă și minimă) în acest caz ale temperaturii pacientului, după care apar schimbări în starea lui.

Unghiul de înclinare

Este ușor de determinat din figură modul în care se modifică derivatul funcției. În cazul în care liniile drepte ale graficului cresc în timp, atunci este pozitiv. Și cu cât sunt mai abrupte, cu atât mai important este derivatul, pe măsură ce unghiul de înclinare crește. În perioadele de scădere, această valoare ia valori negative, redind la zero la punctele extreme, iar graficul derivat în cel de-al doilea caz este tras în paralel cu axa OX.

Orice alt proces trebuie tratat într-un mod similar. Dar cel mai bun mod de a raporta acest concept este de a spune mișcarea diverselor corpuri, reprezentate grafic pe grafice.

mișcare

Să presupunem că un anumit obiect se deplasează de-a lungul unei linii drepte, cu o viteză de colectare uniformă. În această perioadă, schimbarea coordonatei corpului reprezintă grafic o anumită curbă, pe care matematicianul o va numi ramura parabolului. În acest caz, funcția este în continuă creștere, deoarece coordonatele coordonatelor se schimbă cu fiecare secundă tot mai repede. Graful de viteză arată comportamentul derivatului, a cărui valoare crește de asemenea. Deci, mișcarea nu are puncte critice.

Ar continua pe termen nelimitat. Dar dacă corpul decide brusc să se oprească, opriți-vă și începeți să vă mișcați în direcția opusă? În acest caz, coordonatele vor începe să scadă. Și funcția va trece printr-o valoare critică și din creșterea va deveni descrescătoare.

Din nou, prin acest exemplu, se poate înțelege că punctele extremum din graficul funcției apar uneori când aceasta nu mai este monotonă.

Sensul fizic al derivatului

Descris mai devreme a arătat clar că derivatul este, în esență, rata de schimbare a funcției. În această descriere și semnificația sa fizică este încheiată. Punctele extreme sunt zonele critice de pe grafic. Acestea pot fi găsite și detectate prin calcularea valorii derivatului, care se dovedește a fi zero.

Există un alt semn, care este o condiție suficientă pentru extremum. Derivata în locuri de inflexiune schimba semnul: „+“ de la „-“ în domeniul de înaltă și „-“ la „+“, în imediata apropiere a unui minim.

Mișcarea sub influența gravitației

Să ne imaginăm încă o situație. Copiii, jucând mingea, au aruncat-o în așa fel încât să înceapă să se miște la orizont. La momentul inițial, viteza acestui obiect a fost cea mai mare, dar sub acțiunea gravitației a început să scadă, cu fiecare secundă la aceeași valoare, egală cu aproximativ 9,8 m / s². Aceasta este valoarea accelerației care apare sub influența gravitației terestre în timpul căderii libere. Pe Lună, ar fi fost de aproximativ șase ori mai mică.

Graficul care descrie mișcarea corpului este o parabolă cu ramuri orientate în jos. Cum de a găsi puncte extreme? În acest caz, acesta este vârful funcției, unde viteza corpului (mingea) are o valoare zero. Derivatul funcției devine zero. În acest caz, direcția și, prin urmare, viteza sunt inversate. Corpul zboară în fiecare secundă mai repede și accelerează cu aceeași valoare - 9,8 m / s².

Al doilea derivat

În cazul anterior, graficul modulului de viteză este desenat ca o linie dreaptă. Această linie este îndreptată în primul rând în jos, deoarece valoarea acestei cantități scade constant. După ce a ajuns la zero la una din momentele de timp, atunci indicatorii de această magnitudine încep să crească și direcția imaginii grafice a modulului de viteză se modifică radical. Linia este îndreptată în sus.

Viteza, fiind un derivat al coordonării timpului, are de asemenea un punct critic. În această regiune, funcția, inițial descrescătoare, începe să crească. Acesta este punctul extrem al derivatului funcției. În acest caz, unghiul de înclinare al tangentei devine zero. Și accelerația, fiind al doilea derivat al coordonării timpului, își schimbă semnul de la ";" la "+". Iar mișcarea de la aceeași înălțime devine uniform accelerată.

Grafic de accelerare

Acum ia în considerare patru cifre. Pe fiecare dintre ele, este afișat un grafic al modificării în timp a unei cantități fizice, cum ar fi accelerația. În cazul lui "A", valoarea lui rămâne pozitivă și constantă. Aceasta înseamnă că viteza corpului, ca și coordonatele sale, crește în mod constant. Dacă ne imaginăm că obiectul se va mișca în acest fel pentru o perioadă infinit de lungă, funcția care reflectă dependența coordonatei la timp se va dovedi a fi în continuă creștere. Rezultă că nu are regiuni critice. Punctele extreme ale graficului derivatului, adică viteza variabilă liniar, sunt, de asemenea, absente.

Același lucru se aplică cazului "B" cu o accelerație pozitivă și în continuă creștere. Este adevărat că graficele pentru coordonate și viteză aici vor fi oarecum mai complicate.

Când accelerația tinde la zero

Având în vedere desenul "B", puteți observa o imagine foarte diferită, care caracterizează mișcarea corpului. Viteza sa va fi grafic reprezentată de o parabolă cu ramuri orientate în jos. Dacă vom continua linia care descrie modificarea accelerație până la intersecția cu axa x, și în continuare, este posibil să ne imaginăm că, înainte de nivelul critic în cazul în care accelerația va fi egală cu zero, viteza obiectului va crește în continuare mai lent. punctul extremum derivat al funcțiilor de coordonate ar fi doar la vârful parabolei, după care corpul va varia dramatic mișcare caracter și încep să se miște în direcția opusă.

În ultimul caz, "G", natura mișcării nu poate fi determinată cu precizie. Numai aici este cunoscut faptul că nu există o accelerație pentru o anumită perioadă în discuție. Deci, obiectul poate rămâne în poziție sau mișcarea are loc la o viteză constantă.

Sarcina de a adăuga coordonate

Să trecem la sarcinile care se întâlnesc adesea în studiul algebrei în școală și sunt oferite pentru pregătirea pentru UTI. Figura de mai jos prezintă graficul de funcții. Este necesar să se calculeze suma punctelor extreme.

Facem acest lucru pentru axa ordinii, determinând coordonatele regiunilor critice în care se observă o schimbare a caracteristicilor funcției. Pur și simplu, găsim valorile de-a lungul axei OX pentru punctele de inflexiune și apoi continuăm să adăugăm termenii obținuți. Este evident din grafic faptul că ei iau următoarele valori: -8- -7- -5- -3- -2- 1- 3. În total, acest lucru este de -21, care este răspunsul.

Soluție optimă

Nu este necesar să se explice cât de importantă poate fi în implementarea sarcinilor practice de a alege soluția optimă. La urma urmei, există multe modalități de a atinge obiectivul, iar cea mai bună cale de ieșire, de regulă, este doar una. Acest lucru este extrem de necesar, de exemplu, în proiectarea de nave, nave spațiale și aeronave, structuri arhitecturale pentru a găsi forma optimă a acestor obiecte omenești.

Viteza vehiculelor depinde în mare măsură de informații competente pentru a minimiza rezistența ei experiență atunci când se deplasează prin apă și aer, de suprasarcină care apar sub influența forțelor gravitaționale, și mulți alți indicatori. O navă pe mare are nevoie de calități ca stabilitatea în timpul unei furtuni, un pescaj minim este important pentru o navă fluvială. Atunci când se calculează designul optim, punctele extreme de pe grafic pot da în mod clar o idee despre cea mai bună soluție la o problemă complexă. Sarcinile unui astfel de plan sunt deseori rezolvate în economie, în zonele economice, într-o varietate de situații de viață.

Din istoria antică

Problemele pentru extremum au ocupat chiar și vechii înțelepți. Oamenii de știință greci au realizat cu succes misterul zonelor și volumelor prin calcule matematice. Ei au fost primii care au înțeles că pe un plan de figuri diferite cu același perimetru, cea mai mare zonă are întotdeauna un cerc. În mod similar, mingea este dotată cu un volum maxim între obiectele rămase într-un spațiu cu aceeași dimensiune a suprafeței. Astfel de personalități remarcabile precum Arhimede, Euclid, Aristotel, Apollonius s-au dedicat rezolvării unor astfel de probleme. Pentru a găsi punctele extreme, a fost perfect posibilă lui Gerona, care, recurgând la calcule, a construit dispozitive vicleante. Acestea includ mașini automate, care se deplasează prin abur, funcționând pe aceleași pompe și turbine principale.

Construcția cartaginei

Există o legendă, a cărei complot este construit pe soluția uneia dintre problemele extreme. Rezultatul abordării de afaceri, demonstrat de prințesa feniciană, care a solicitat ajutor înțelepților, a fost clădirea Cartaginei. Terenul acestui oraș străvechi și illustrat a fost prezentat de către Didon (numele domnitorului) conducătorului uneia dintre triburile africane. Zona de alocare nu i sa părut prea mare la început, deoarece sub contract era acoperită cu o vacă. Dar prințesa ia ordonat soldaților să o taie în benzi subțiri și să facă o curea din ele. Sa dovedit a fi atât de lungă încât a acoperit un loc în care se încadrează un întreg oraș.

Originile analizei matematice

Și acum ne vom muta din cele mai vechi timpuri spre o epocă mai târzie. Este interesant faptul că înțelegerea fundamentelor analizei matematice a determinat-o pe Kepler în secolul al XVII-lea să se întâlnească cu vânzătorul de vin. Traderul era atât de bine cunoscut în profesia sa încât putea să determine cu ușurință volumul băuturii din butoi, pur și simplu aruncând turnajul de fier acolo. Reflectând pe o astfel de curiozitate, faimosul om de știință a reușit să-și rezolve această dilemă. Se pare că dogărie calificați acele vremuri mâna pentru a face navelor, astfel încât, la o anumită înălțime și raza de circumferința inelelor de fixare, acestea au o capacitate maximă.

Acest lucru a devenit pentru Kepler o ocazie pentru reflecție. Bochary a ajuns la o soluție optimă prin metoda căutării lungi, a greșelilor și a tentativelor noi, trecând experiența lor de la o generație la alta. Dar Kepler a vrut să accelereze procesul și să învețe să facă același lucru într-un timp scurt prin calcule matematice. Toate realizările sale, preluate de colegi, au devenit cunoscute acum Ultima teoremă si Newton - Leibniz.

Sarcina de a găsi zona maximă

Imaginați-vă că avem un fir, lungimea căruia este de 50 cm. Cum să facem din el un dreptunghi cu cea mai mare suprafață?

Pornind de la soluția, trebuie să pornim de la simple și cunoscute la orice adevăr. Este clar că perimetrul figurii noastre va fi de 50 cm. De asemenea, este format din lungimi dublate de ambele părți. Aceasta înseamnă că, după ce ați desemnat unul pentru "X", celălalt poate fi exprimat ca (25 - X).

Prin urmare, obținem o suprafață egală cu X (25 - X). Această expresie poate fi reprezentată ca o funcție care ia un set de valori. Soluția problemei necesită găsirea maximă a acestora și, prin urmare, este necesar să găsim punctele extreme.

Pentru a face acest lucru, găsim primul derivat și îl echivalăm la zero. Rezultatul este o simplă ecuație: 25 - 2X = 0.

Din aceasta aflăm că una dintre părți X = 12.5.

Prin urmare, un altul: 25 - 12,5 = 12,5.

Se pare că soluția problemei va fi un pătrat cu o latură de 12,5 cm.

Cum să găsiți viteza maximă

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să ne imaginăm că există un corp al cărui mișcare rectilinie este descrisă de ecuația S = - t³ + 9t² - 24t - 8, unde distanța parcursă este exprimată în metri și timpul în secunde. Este necesar să găsiți viteza maximă. Cum se face acest lucru? Descarcate găsiți viteza, adică primul derivat.

Obținem ecuația: V = - 3t² + 18t - 24. Acum, pentru a rezolva problema, trebuie să găsim din nou punctele extreme. Acest lucru trebuie făcut în același mod ca și în problema anterioară. Gasim primul derivat al vitezei si echivalam-o la zero.

Obținem: - 6t + 18 = 0. Prin urmare, t = 3 s. Acesta este momentul în care viteza corpului preia o valoare critică. Înlocuim datele obținute în ecuația de viteză și obținem: V = 3 m / s.

Dar cum să înțelegem că aceasta este viteza maximă, deoarece punctele critice ale funcției pot fi cele mai mari sau cele mai mici valori ale funcției? Pentru a verifica, este necesar să găsiți al doilea derivat al vitezei. Se exprimă prin numărul 6 cu semnul minus. Aceasta înseamnă că punctul găsit este maximul. Și în cazul unei valori pozitive, al doilea derivat ar fi un minim. Prin urmare, soluția găsită a fost corectă.

Exemplele prezentate sunt doar o parte din cele care pot fi rezolvate prin cunoașterea modului de a găsi punctele extreme ale unei funcții. De fapt, sunt multe altele. Și astfel de cunoștințe deschid oportunități nelimitate pentru civilizația umană.