Funcție continuă

Funcția continuă este o funcție fără "salturi", adică una pentru care condiția este satisfăcută: mici modificări ale argumentului sunt urmate de mici modificări ale valorilor corespunzătoare ale funcției. Graficul unei astfel de funcții este o curbă netedă sau continuă.

Continuitatea la un punct care este limita pentru un anumit set poate fi determinat folosind conceptul de limită, și anume: o funcție trebuie să aibă o limită în acest punct, care este egală cu valoarea ei la punctul limită.

Dacă aceste condiții sunt încălcate la un anumit punct, spuneți că funcția la un moment dat suferă o pauză, adică continuitatea sa este încălcată. În limbajul limitelor, punctul de discontinuitate poate fi descris ca o nepotrivire a valorii unei funcții la un punct discontinuu cu limita unei funcții (dacă există).

Punctul de discontinuitate poate fi eliminat, pentru aceasta este necesar să existe o limită a unei funcții, dar nu coincide cu valoarea sa într-un anumit punct. În acest caz, poate fi "corectat" în acest punct, adică poate fi extins la continuitate.
O imagine complet diferită se formează dacă limita unei funcții într-o anumită dată punctul nu este acolo. Există două variante posibile de puncte de pauză:

• de primul fel - ambele limite unilaterale există și sunt finite, iar valoarea unuia sau a celor două nu coincide cu valoarea funcției la un moment dat;
• al doilea tip, când una sau ambele limite unilaterale nu există sau valorile lor sunt infinite.

Proprietățile funcțiilor continue

• Funcția obținută în rezultatul operațiilor aritmetice, precum și suprapunerea funcțiilor continue în domeniul lor de definiție, este de asemenea continuă.
• Dacă se dă o funcție continuă pozitivă la un moment dat, atunci este întotdeauna posibil să se găsească un cartier suficient de mic pe care să-i păstreze semnul.
• În mod similar, dacă valorile lui la două puncte A și B sunt egale, respectiv, a și b, cu un altul decât b, atunci pentru punctele intermediare va lua toate valorile din intervalul (a - b). De aici putem trage o concluzie interesantă: dacă dăm o bandă de cauciuc întinsă care se micsorează astfel încât să nu se îndoaie (rămâne dreaptă), atunci unul dintre punctele sale rămâne fix. Și geometric înseamnă că există o linie dreaptă care trece prin orice punct intermediar între A și B care intersectează graficul funcției.

Observăm o parte din funcțiile elementare continue (în domeniul definiției lor):

• constantă;
• rațională;
• trigonometria.

Între cele două concepte fundamentale din matematică - continuitate și diferențiabilitate - există o legătură inextricabilă. Este suficient să reamintim că pentru diferențiabilitatea unei funcții este necesar ca aceasta să fie o funcție continuă.

Dacă funcția este diferențiată la un moment dat, atunci este continuă. Cu toate acestea, nu este necesar ca derivatul său să fie continuu.

O funcție care are un derivat continuu pe un anumit set aparține unei clase distincte de funcții netede. Cu alte cuvinte, aceasta este o funcție continuă diferențiată. Dacă derivatul are un număr limitat de puncte de pauză (numai de primul tip), atunci o funcție similară se numește netedă netedă.

Un alt concept important analiză matematică este continuitatea uniformă a funcției, adică capacitatea sa de a fi la fel de continuă în orice punct al domeniului său de definiție. Astfel, această proprietate este considerată pe setul de puncte, și nu în niciunul luat separat.

Dacă vom rezolva punctul, nu vom obține nimic altceva decât definiția continuității, adică existența unei continuități uniforme implică faptul că avem o funcție continuă. În general, conversația nu este adevărată. Cu toate acestea, în conformitate cu teorema lui Cantor, dacă o funcție este continuă pe o compactum, adică într-un interval închis, atunci este uniform continuu pe ea.