Paritatea funcției

Paritatea și ciudățenia unei funcții sunt una dintre principalele sale proprietăți și funcția de cercetare pe paritate ocupă o parte impresionantă a cursului școlar în matematică. Acesta determină în multe feluri comportamentul funcției și facilitează foarte mult construirea graficului corespunzător.

Să determinăm paritatea funcției. În general, funcția examinată este considerată chiar dacă valorile corespunzătoare ale lui y (funcții) sunt egale pentru valorile opuse ale variabilei independente (x) în domeniul său de definiție.

Oferim o definiție mai riguroasă. Considerăm o funcție f (x) care este definită în D. Va fi chiar dacă pentru orice punct x în domeniul definiției:

• -x (punctul opus) se află, de asemenea, în acest domeniu de definire,
• f (-x) = f (x).

Din această definiție ar trebui să fie o condiție necesară pentru domeniul unei astfel de funcții, și anume, simetrică în raport cu punctul O este originea, ca și în cazul în care un anumit punct b este conținută în definiția unei funcții chiar, punctul corespunzător - b se află de asemenea în acest domeniu. Din concluziile de mai sus rezultă concluzia: funcția uniformă are o formă simetrică față de axa de coordonate (Oy).

Cum să determinăm în practică paritatea unei funcții?

lăsa dependența funcțională este dată de formula h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). Urmărind algoritmul care rezultă direct din definiție, analizăm mai întâi domeniul său de definiție. Evident, este definit pentru toate valorile argumentului, adică prima condiție este satisfăcută.

Următorul pas este înlocuirea argumentului (x) cu valoarea opusă (-x).
Avem:
h (-x) = 11 ^ (-x) + 11 ^ x.
Deoarece adunarea satisface legea comutativă (relocabilă), este evident că h (-x) = h (x) și dependența funcțională dată este egală.

Să verificăm paritatea funcției h (x) = 11 ^ x-11 ^ (-x). Urmând același algoritm, obținem că h (-x) = 11 ^ (-x) -11 ^ x. Realizând un minus, în cele din urmă, avem
h (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (-x)) = -h (x). Prin urmare, h (x) este ciudat.

Apropo, trebuie reamintit că există funcții care nu pot fi clasificate în funcție de aceste caracteristici, ele nu sunt numite nici măcar ciudate.

Chiar și funcțiile au o serie de proprietăți interesante:

• ca urmare a adăugării unor astfel de funcții, se obține un număr par.
• ca rezultat al scăderii unor astfel de funcții, se obține un rezultat uniform;
• inversul funcției chiar este, de asemenea, uniform;
• ca rezultat al multiplicării a două astfel de funcții, se obține un număr par.
• ca rezultat al multiplicării funcțiilor ciudate și uniforme deveni ciudat;
• ca rezultat al împărțirii funcțiilor ciudate și uniforme deveni ciudat;
• derivatul unei astfel de funcții este ciudat;
• dacă ridicăm funcția ciudată într-un pătrat, obținem o funcție uniformă.

Paritatea unei funcții poate fi utilizată pentru a rezolva ecuațiile.

Pentru a rezolva o ecuație de tip g (x) = 0, unde partea stângă a ecuației este o funcție uniformă, va fi suficientă găsirea soluțiilor pentru valori non-negative ale variabilei. Rădăcinile ecuației trebuie combinate cu numerele opuse. Una dintre ele este supusă verificării.

Acest lucru este același funcție de proprietate utilizate cu succes pentru a rezolva sarcinile non-standard cu un parametru.

De exemplu, există o valoare a parametrului a pentru care ecuația 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 va avea trei rădăcini?

Dacă luăm în considerare faptul că variabila intră în ecuație în puteri egale, atunci este clar că înlocuirea x by - x ecuația dată nu se modifică. Prin urmare, rezultă că dacă un număr este rădăcina sa, atunci este numărul opus. Concluzia este evidentă: rădăcinile ecuației, altele decât zero, intră în setul de "perechi" de soluții.

Este clar că numărul 0 însuși rădăcina ecuației nu este, adică, numărul de rădăcini ale unei astfel de ecuații poate fi doar și, firește, pentru orice valoare a parametrului nu poate avea trei rădăcini.

Dar numărul rădăcinilor ecuației 2 ^ x + 2 ^ (-x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 poate fi impare și pentru orice valoare a parametrului. Într-adevăr, este ușor să se verifice dacă setul de rădăcini al ecuației date conține soluții "în perechi". Să verificăm dacă 0 este o rădăcină. Atunci când îl înlocuim în ecuație, obținem 2 = 2. Astfel, în plus față de "pereche" 0 este, de asemenea, o rădăcină, care dovedește numărul lor ciudat.