Cum să explorați și să construiți un grafic de funcții?

Astăzi, sugerăm împreună cu noi să explorăm și să construim un grafic funcțional. După studierea cu atenție a acestui articol, nu trebuie să transpirați mult timp pentru a îndeplini acest tip de sarcină. Nu este ușor să investighezi și să construiești un grafic de funcții, munca este voluminoasă, necesitând o atenție maximă și precizie a calculelor. Pentru a facilita perceperea materialului, vom studia treptat aceeași funcție, vom explica toate acțiunile și calculele noastre. Bine ați venit în lumea minunată și fascinantă a matematicii! Să mergem!

Domeniu de definiție

Pentru a investiga și a construi un grafic de funcții, este necesar să cunoaștem mai multe definiții. Funcția este unul dintre conceptele de bază (de bază) din matematică. Aceasta reflectă relația dintre mai multe variabile (două, trei sau mai multe) cu modificări. De asemenea, funcția arată dependența seturilor.

Imaginați-vă că avem două variabile care au un anumit interval de variație. Deci, y este o funcție de x, cu condiția ca pentru fiecare valoare a celei de-a doua variabile să corespundă o valoare a celei de-a doua. În plus, variabila y este dependentă și se numește o funcție. Se obișnuiește să se spună că variabilele x și y sunt în dependența funcțională. Pentru o mai mare claritate a acestei dependențe, este construit un grafic al funcției. Ce este un grafic de funcții? Acesta este setul de puncte pe planul coordonatelor, unde fiecare valoare a lui x corespunde unei valori y. Graficele pot fi diferite - o linie dreaptă, o hiperbolă, o parabolă, un sinusoid și așa mai departe.

Graficul funcției nu poate fi construit fără investigație. Astăzi vom învăța să realizăm un studiu și să construim un grafic de funcții. Este foarte important în planul de coordonate face note. Deci, pentru a face față sarcinii va fi mult mai ușor. Cel mai convenabil plan de studiu:

1. Domeniul de aplicare al definiției.
2. Continuitate.
3. Paritate sau ciudățenie.
4. Periodicitatea.
5. Asimptotă.
6. Zerouri.
7. Un semn de constanță.
8. Ascendent și descendent.
9. Extremelor.
10. Convexitatea și concavitatea.

Să începem cu primul paragraf. Găsim domeniul de definiție, adică pe ce intervale există funcția noastră: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). În cazul nostru, funcția există pentru orice valoare a lui x, adică domeniul de definiție este R. Se poate scrie astfel: xVR.

continuitate

Acum vom examina funcția pentru o pauză. În matematică, termenul "continuitate" a apărut ca urmare a studierii legilor mișcării. Ce este infinit? Spațiu, timp, unele funcții (de exemplu, poate servi ca o variabilă S dependentă și t în mișcarea sarcinilor), temperatura obiectului încălzit (apa, prajirea, termometru, și așa mai departe), linia continuă (adică una care poate fi trasă fără a ridica de pe foaia creion).

Un grafic este considerat continuu, care nu se rupe la un moment dat. Unul dintre exemplele cele mai evidente ale unui astfel de grafic este un sinusoid, pe care îl puteți vedea în imaginea din această secțiune. Funcția este continuă la un punct x0 dacă sunt îndeplinite mai multe condiții:

• o funcție este definită la un anumit punct;
• limitele dreptului și stângii în acest punct sunt egale;
• Limita este egală cu valoarea funcției la punctul x0.

Dacă una dintre condiții nu este îndeplinită, ei spun că funcția suferă o pauză. Iar punctele în care funcția este ruptă, este obișnuit să numim punctele de discontinuitate. Un exemplu de funcție care este "rupt în afară" în reprezentarea grafică poate fi: y = (x + 4) / (x-3). În plus, y nu există la punctul x = 3 (deoarece este imposibil să se împartă cu zero).

În funcția pe care o investigăm (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), totul sa dovedit a fi simplu, deoarece graficul va fi continuu.

Paritate, ciudățenie

Acum examinați funcția pentru paritate. Pentru a începe o mică teorie. Se numește o funcție uniformă care satisface condiția f (-x) = f (x) pentru orice valoare a lui x (din intervalul de valori). Exemplele sunt:

• modul x (graficul este similar cu un daw, bisector al primului și al doilea trimestru al graficului);
• x în pătrat (parabola);
• cosinus de x (cosinus).

Rețineți că toate aceste grafice sunt simetrice dacă luăm în considerare acest lucru în raport cu axa y (adică, y).

Și ce se numește apoi o funcție ciudată? Acestea sunt acele funcții care satisfac condiția: f (-x) = -f (x) pentru orice valoare de x. exemple:

• hiperbolă;
• parabola cubică;
• unde sinusoidală;
• tangentoid și așa mai departe.

Rețineți că aceste funcții au o simetrie cu privire la punctul (0: 0), adică originea. Plecând de la ceea ce sa spus în această secțiune a articolului, o funcție parțială și ciudată trebuie să aibă proprietatea: x aparține setului definiției și -x.

Să investigăm funcția prin paritate. Putem vedea că nu se potrivește cu nici o descriere. În consecință, funcția noastră nu este nici măcar ciudată.

asimptotă

Să începem cu definiția. Asymptote este o curbă care este cât se poate de aproape de grafic, adică distanța de la un punct tind la zero. Există trei tipuri de asimptote:

• Verticală, adică paralelă cu axa y;
• Orizontal, adică paralel cu axa x;
• înclinat.

În ceea ce privește primul tip, aceste linii drepte ar trebui căutate în anumite puncte:

• pauză;
• sfârșitul domeniului de definiție.

În cazul nostru, funcția este continuă, iar domeniul definiției este R. Prin urmare, nu există asimptote verticale.

Asimptotul orizontal este pentru graficul funcției, care corespunde următoarei cerințe: dacă x tinde spre infinit sau minus infinit și limita este egală cu un anumit număr (de exemplu, a). În acest caz, y = a - aceasta este asimptota orizontală. Nu există asimptote orizontale în funcția pe care o investigăm.

Un asimptot înclinat există numai dacă sunt îndeplinite două condiții:

• lim (f (x)) / x = k;
• lim f (x) -kx = b.

Apoi se poate găsi prin formula: y = kx + b. Din nou, în cazul nostru nu există asimptote înclinate.

Funcție zero

Următorul pas este să examinați graficul funcției prin zerouri. Este important de remarcat faptul că sarcina asociată cu găsirea zerourile funcției se găsește nu numai în studiul și construcția graficului funcției, dar, de asemenea, ca o sarcină independentă, și ca o modalitate de a aborda inegalitățile. Este posibil să vi se solicite să găsiți pe grafic graficele zero ale funcției sau să utilizați o înregistrare matematică.

Găsirea acestor valori vă va ajuta să faceți un grafic mai precis al funcției. În limbajul simplu, zero a unei funcții este valoarea variabilei x pentru care y = 0. Dacă căutați un zer al unei funcții pe un grafic, trebuie să acordați atenție punctelor în care are loc intersecția graficului cu axa abscisă.

Pentru a găsi nivelele unei funcții, este necesar să rezolvăm următoarea ecuație: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. După efectuarea calculelor necesare, primim următorul răspuns:

• x = 1;
• 4;
• 9.

Se recomandă să marcați imediat punctele găsite pe grafic.

Un semn de constanță

Următoarea etapă de cercetare și construcție a unei funcții (grafic) este găsirea intervalelor de semn-constantă. Aceasta înseamnă că trebuie să determinăm la ce intervale funcția are o valoare pozitivă și pe care - negativ. Acest lucru ne va ajuta să facem zerourile funcției găsite în ultima secțiune. Deci, trebuie să construim o linie dreaptă (separată de grafic) și să distribuim în ordinea corectă zerourile funcției de la cea mai mică la cea mai mare. Acum trebuie să determinăm care dintre intervalele recepționate are semnul "+" și care ";".

În cazul nostru, funcția are o valoare pozitivă la intervale:

• de la 1 la 4;
• de la 9 la infinit.

Valoare negativă:

• de la infinitul minus la 1;
• de la 4 la 9.

Acest lucru este destul de ușor de definit. Înlocuiți orice număr din spațiul gol în funcție și uitați la care caracter a fost răspunsul (minus sau plus).

Funcție de creștere și descreștere

Pentru a investiga și a construi o funcție, trebuie să știm unde va crește graficul (merge mai departe linia de coordonate Oy), și unde va cădea (creează de-a lungul axei ordinii).

Funcția crește numai dacă valoarea mai mare a variabilei x corespunde unei valori mai mari de y. Aceasta este, x2 este mai mare decât x1, iar f (x2) este mai mare decât f (x1). Iar efectul invers se observă într-o funcție descrescătoare (cu atât mai mult x, cu atât mai puțin y). Pentru a determina intervalele de creștere și de scădere, este necesar să găsiți următoarele:

• domeniu de definiție (deja avem);
• derivat (în cazul nostru: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• rezolva ecuația 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

După calcule, obținem rezultatul:

• 7/3;
• 7.

Obținem: funcția crește pe intervale de la minus infinit la 7/3 și de la 7 la infinit și scade la un interval de la 7/3 la 7.

extremele

Funcția y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) este continuă și există pentru orice valori ale variabilei x. Punctul extremum indică valoarea maximă și minimă a acestei funcții. În cazul nostru, nu există nici unul, ceea ce simplifică foarte mult problema de construcție. altfel puncte extremum sunt de asemenea găsite utilizând funcția derivată. După ce ați găsit, nu uitați să le marcați pe diagramă.

Convexitatea și concavitatea

Continuăm să investigăm funcția y (x). Acum trebuie să-l testăm pentru convexitate și concavitate. Definițiile acestor concepte sunt greu de luat, este mai bine să analizăm totul prin exemple. Pentru test: funcția este convexă dacă este nedefinit integral funcția nereducătoare. Sunt de acord, acest lucru este neclar!

Trebuie să găsim derivatul unei funcții de ordinul doi. Obținem: y = 1/3 (6x-28). Acum echivalăm partea dreaptă la zero și rezolvăm ecuația. Răspunsul este: x = 14/3. Am găsit punctul de inflexiune, adică locul unde graficul schimbă convexitatea spre concavitate sau invers. În intervalul de la minus infinit la 14/3, funcția este convexă, iar de la 14/3 la infinit plus - concavă. Este foarte important să rețineți că punctul de inflexiune al diagramei ar trebui să fie neted și moale, nu ar trebui să existe unghiuri ascuțite.

Definiția punctelor suplimentare

Sarcina noastră este să investigăm și să construim un grafic de funcții. Am finalizat studiul, nu vom mai putea construi graficul funcției acum. Pentru o reproducere mai precisă și detaliată a curbei sau a unei linii drepte pe planul de coordonate, puteți găsi mai multe puncte auxiliare. Este destul de ușor să le calculezi. De exemplu, luăm x = 3, rezolvăm ecuația rezultată și găsim y = 4. Sau x = 5, și y = -5 și așa mai departe. Puncte aditionale pe care le poti lua la fel de mult ca ai nevoie pentru a construi. Cel puțin 3-5 dintre acestea sunt găsite.

Desenarea unui grafic

Trebuie să investigăm funcția (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Toate notele necesare în timpul calculelor au fost reprezentate pe planul coordonatelor. Tot ce trebuie să faceți este să construiți un grafic, adică să conectați toate punctele împreună. Pentru a conecta punctele de costuri fără probleme și cu precizie, este o chestiune de îndemânare - o practică mică și programul dvs. va fi perfect.