Cum să găsiți determinantul unei matrice?

Găsirea determinantului unei matrice este o acțiune importantă nu numai pentru algebra liniară: de exemplu, în economie, acest calcul rezolvă sisteme ecuații liniare cu multe necunoscute, utilizate pe scară largă în problemele economice.

Conceptul de determinant

Determinantul sau determinantul unei matrice este o cantitate egală cu volumul paralelipipedului, construit pe vectori-rânduri sau coloane. Calculați această valoare numai pentru o matrice pătrată, în care numărul de rânduri și coloane este același. Dacă membrii matricei sunt numere, atunci determinantul va fi și un număr.

Calcularea determinanților

Trebuie reținut faptul că există mai multe reguli care pot facilita în mare măsură aceste calcule.

Deci determinantul unei matrici constând dintr-un singur termen este egal cu elementul său unic. Pentru a calcula determinantul ordinii a doua nu este dificil, pentru aceasta este suficient să se scadă produsul elementelor aflate pe diagonala secundară de produsul termenilor diagonalei principale.

Calculul determinantului ordinului 3 este cel mai ușor realizat conform regulii triunghiului. Pentru aceasta, efectuați următoarele acțiuni:

1. Gasim produsul celor trei termeni ai matricei localizati pe principalul saudiagonală.
2. Noi multiplicăm trei termeni pe triunghiuri ale căror baze sunt paralele cu diagonala principală.
3. Repetăm ​​prima și a doua acțiune pentru diagonala laterală.
4. Gasim suma tuturor valorilor obtinute in calculele anterioare, in timp ce numerele obtinute in al treilea paragraf sunt luate cu un semn minus.

Pentru a găsi cu ușurință determinantul unei matrice de ordin 4, precum și dimensiuni mai mari, este necesar să se ia în considerare proprietățile pe care toți determinanții le posedă:

1. Valoarea determinantului nu se modifică după transpunerea matricei.
2. Rearanjarea a două rânduri sau coloane adiacente duce la o schimbare a semnului determinantului.
3. Dacă există două rânduri sau coloane egale în matrice sau toate elementele coloanei (rânduri) sunt zero, atunci determinantul ei este zero.
4. Înmulțirea numerelor de matrice cu orice număr duce la o creștere a determinantului său de același număr de ori.

Folosirea proprietăților de mai sus vă ajută să găsiți cu ușurință determinantul unei matrice a oricărei ordini. De exemplu, folosind în acest scop o metodă de scădere a ordinii în care determinantul este descompus în elemente ale unui rând (coloană) înmulțit cu un complement algebric.

O altă modalitate, care simplifică foarte mult determinarea factorului determinant matrice, este reducerea sa la o formă triunghiulară, atunci când toate elementele sub diagonala principală sunt egale cu zero. În acest caz, determinantul matricei este calculat ca produsul numerelor situate pe această diagonală.

Și în final, aș vrea să remarcăm că calculul determinanților, deși constă în calcule matematice aparent simple, necesită însă o îngrijire și o perseverență considerabilă.