Математическая матрица. Умножение матриц

Ещё математики древнего Китая использовали в своих вычислениях запись в виде таблиц с определённым количеством строк и столбцов. Тогда подобные математические объекты именовались как «волшебные квадраты». Хотя известны и случаи использования таблиц в виде треугольников, которые так и не получили широкого распространения.

На сегодняшний день под математической матрицей принято понимать объёкт прямоугольной формы с заданным количеством столбцов и символов, которые и определяют размеры матрицы. В математике такая форма записи нашла широкое применение для записи в компактном виде систем дифференциальных, а также линейных алгебраических уравнений. Принято, что количество строк в матрице равно числу присутствующих в системе уравнений, количеству столбцов соответствует, сколько неизвестных необходимо определить в ходе решения системы.

Кроме того, что сама по себе матрица в ходе её решения приводит к нахождению неизвестных, заложенных в условие системы уравнений, существует ряд алгебраических операций, которые допускается осуществлять над данным математическим объектом. Этот перечень включает в себя сложение матриц, имеющих одинаковые размеры. Умножение матриц с подходящими размерами (можно перемножить лишь матрицу, с одной стороны имеющую количество столбцов, равное количеству строк у матрицы с другой стороны). Также допускается умножать матрицу на вектор, или на элемент поля или основного кольца (иначе скаляр).

Рассматривая умножение матриц, следует внимательно следить, чтобы количество столбцов первой строго соответствовало числу строк второй. Иначе данное действе над матрицами будет не определено. Согласно правилу, по которому осуществляется умножение матрицы на матрицу, каждый элемент в новой матрице приравнивается к сумме произведений соответствующих элементов из строк первой матрицы на элементы, взятые из столбцов другой.

Для наглядности рассмотрим пример, как происходит умножение матриц. Берём матрицу A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

умножаем её на матрицу B

3 -2

1 0

4 -3.

Элемент первой строки первого столбца результирующей матрицы равен 2*3+3*1+(-2)*4. Соответственно, в первой строчке во втором столбце будет элемент равный 2*(-2)+3*0+(-2)*(-3), и так далее до заполнения каждого элемента новой матрицы. Правило умножения матриц предполагает, что результатом произведения матрицы с параметрами m x n на матрицу, имеющую соотношение n x k, станет таблица, которая обладает размерами m x k. Следуя этому правилу, можно сделать вывод, что произведение так называемых квадратных матриц соответственно одного порядка всегда определено.

Из свойств, которыми обладает умножение матриц, следует выделить в качестве одного из основных то, что эта операция не является коммутативной. То есть произведение матрицы M на N не равно произведению N на M. Если в квадратных матрицах одного порядка наблюдается, что их прямое и обратное произведения всегда определены, отличаясь лишь результатом, то для прямоугольных матриц подобное условие определенности не всегда выполняется.

У умножения матриц существует ряд свойств, которые имеют чёткие математические доказательства. Ассоциативность умножения подразумевает верность следующего математического выражения: (MN)K=M(NK), где M,N, и K – матрицы, имеющие параметры, при которых умножение определено. Дистрибутивность умножения предполагает, что M(N+K)= MN+MK, (M+N)K= MK+NK, L(MN)= (LM)N+ M(LN), где L – число.

Следствием из свойства умножения матриц, именуемого «ассоциативность», следует, что в произведении, содержащем от трёх и больше сомножителей, допускается запись без использования скобок.

Использование свойства дистрибутивности даёт возможность раскрывать скобки при рассмотрении матричных выражений. Обращаем внимание, если мы раскрываем скобки, то нужно сохранять порядок сомножителей.

Использование матричных выражений позволяет не только компактно производить запись громоздких систем уравнений, но и облегчает процесс их обработки и решения.