Care este tangenta cercului? Proprietățile tangentei în cerc. Tangenta comună la două cercuri

Secundele, tangentele - toate aceste sute de ori ai auzit la lecțiile de geometrie. Dar absolvirea școlii în spatele ei, trecerea anilor, și toate aceste cunoștințe sunt uitate. Ce ar trebui să-mi amintesc?

esență

Termenul "tangent la cerc" este cunoscut tuturor, probabil. Dar cu greu toată lumea va fi capabilă să-și formuleze rapid definiția. Între timp, o tangentă este o linie dreaptă situată într-un plan cu un cerc care o intersectează numai într-un punct. Poate exista un număr mare de ele, dar toate au aceleași proprietăți, care vor fi discutate mai jos. Nu este greu de ghicit că punctul de tangență este locul unde se intersectează cercul și linia. În fiecare caz, este unul, dar dacă există mai multe, atunci va fi deja secant.

Istoria descoperirii și studiului

Conceptul de tangent a apărut în cele mai vechi timpuri. Construcția acestor linii la primul cerc, și apoi la elipse, parabole și hiperbolelor cu o riglă și o busolă a avut loc încă în primele etape ale dezvoltării geometriei. Desigur, istoria nu a păstrat numele descoperitorului, dar este clar că, chiar și la acel moment oamenii au fost bine cunoscute proprietăți ale tangenta cercului.

În vremurile moderne, interesul pentru acest fenomen a explodat din nou - o nouă rundă de studiu a acestui concept a început odată cu descoperirea de noi curbe. Deci, Galileo a introdus conceptul de cicloid, iar Fermat și Descartes au construit o tangență la acesta. În ceea ce privește cercurile, se pare că nici măcar pentru antici nu existau secrete în această zonă.

proprietăţi

Raza trasată la punctul de intersecție va fi este perpendiculară pe o linie dreaptă. Asta este dar nu singura proprietate care are o tangenta la cerc. O altă caracteristică importantă include două linii drepte. Prin urmare, printr-un punct situat în afara cercului, puteți desena două tangente, iar segmentele lor vor fi egale. Există încă o teoremă pe această temă, cu toate acestea, este rareori susținută în cadrul unui curs școlar standard, deși este extrem de convenabil pentru rezolvarea unor probleme. Sună așa. De la un singur punct situat în afara cercului, sunt atinse o tangenta si o secant. Sunt segmente AB, AC și AD. A este intersecția liniilor, B este punctul de tangență, C și D sunt intersecțiile. În acest caz, următoarea egalitate va fi valabilă: lungimea tangentei la cerc, pătrat, va fi egală cu produsul segmentului AC și AD.

Din cele de mai sus, există o consecință importantă. Pentru fiecare punct al cercului, puteți construi o tangentă, dar numai una. Dovada acestui lucru este destul de simplă: prin scăderea teoretică a perpendicularului de pe rază, aflăm că triunghiul format nu poate exista. Și aceasta înseamnă că tangenta este unică.

clădire

Printre alte probleme în geometrie există o categorie specială, de regulă, nu iubitorii de elevi și studenți. Pentru a rezolva sarcini din această categorie, sunt necesare numai busola și rigla. Acestea sunt sarcini de construcție. Există ele și construirea unei tangente.

Deci, având un cerc și un punct care se află în afara limitelor sale. Și este necesar să tragem o tangență prin ele. Cum se poate face acest lucru? Mai întâi, trebuie să trasăm un segment între centrul cercului O și punctul dat. Apoi, folosind busola, ar trebui să o împărțiți în jumătate. Pentru a face acest lucru, trebuie să specificați o rază - puțin peste jumătate din distanța dintre centrul cercului original și punctul dat. După aceasta, trebuie să construim două arce intersectate. Și nu este necesară schimbarea razei busolei, iar centrul fiecărei părți a cercului este punctul inițial, respectiv O. Intersecțiile arcurilor trebuie îmbinate, ceea ce va împărți segmentul pe jumătate. Setați o rază egală cu distanța pe busolă. Apoi, cu centrul de la punctul de intersecție, construiți un alt cerc. Acesta va conține atât punctul original, cât și O. Vor exista două intersecții cu cercul dat în problemă. Acestea vor fi punctele de tangență pentru punctul specificat inițial.

interesant

A fost construirea de tangente la cercul care a condus la naștere calculul diferențial. Prima lucrare pe această temă a fost publicată de faimosul matematician german Leibniz. El a avut în vedere posibilitatea de a găsi maxime, minime și tangente, indiferent de valorile fracționate și iraționale. Ei bine, acum este folosit pentru multe alte calcule.

În plus, tangenta la cerc este legata de sensul geometric al tangentei. De aici rezultă numele său. În traducere din latine tangens - "tangent". Astfel, acest concept este asociat nu numai cu geometria și calculul diferențial, ci și cu trigonometria.

Două cercuri

Nu întotdeauna tangenta va afecta doar o singură figură. Dacă un număr foarte mare de linii drepte pot fi trase la un cerc, atunci de ce nu invers? Poți. Aceasta este doar problema în acest caz este foarte complicată, deoarece tangenta la două cercuri nu poate trece prin nici un punct, iar aranjamentul reciproc al tuturor acestor figuri poate fi foarte diferite.

Tipuri și soiuri

Când este vorba de cele două cercuri și una sau mai multe linii, atunci, chiar dacă știi că este vorba despre, nu este imediat clar modul în care toate aceste piese sunt aranjate în raport unul cu altul. Pe această bază, distingeți mai multe soiuri. Deci, cercurile pot avea unul sau două puncte comune sau nu le au deloc. În primul caz, se vor intersecta, iar în cel de-al doilea - atingere. Și aici distingem două soiuri. Dacă un cerc este încorporat în cel de-al doilea, atunci atingerea se numește internă, dacă nu, apoi externă. Înțelegerea poziția relativă a pieselor nu se poate baza doar pe desen, dar având informații despre suma razelor lor, iar distanța dintre centrele lor. Dacă aceste două cantități sunt egale, atunci cercurile ating. Dacă prima este mai mult - se intersectează și dacă este mai mică - atunci nu au puncte comune.

Deci, este cu linii drepte. Pentru oricare două cercuri care nu au puncte comune, se poate
construiți patru tangente. Două dintre ele se vor intersecta între figuri, ele sunt numite interne. Câteva altele sunt externe.

Dacă vorbim despre cercuri care au un punct comun, atunci sarcina este serios simplificată. Faptul este că pentru orice aranjament reciproc în acest caz, tangenta va avea doar una. Și va trece prin punctul de intersecție. Deci construcția dificultății nu va provoca.

Dacă figurile au două puncte de intersecție, atunci poate fi construită o linie dreaptă tangentă la cerc, atât una, cât și a doua, dar numai una exterioară. Soluția la această problemă este similară cu ceea ce va fi discutat mai târziu.

Rezolvarea problemelor

Atât tangentele interioare cât și cele exterioare la cele două cercuri din construcție nu sunt atât de simple, chiar dacă această problemă este rezolvabilă. Faptul este că pentru aceasta este folosit o figură auxiliară, astfel încât să puteți să vă prezentați singur această metodă este destul de problematică. Astfel, sunt date două cercuri cu diferite raze și centre O1 și O2. Pentru ei, trebuie să construim două perechi de tangente.

Mai întâi, în apropierea centrului cercului mai mare, trebuie să construim una auxiliară. În acest caz, diferența dintre razele celor două figuri originale trebuie să fie stabilită pe busolă. Din centrul unui cerc mai mic, sunt construite tangente la cercul auxiliar. După aceea, din O1 și O2, perpendicularile către aceste linii drepte sunt făcute înainte de a traversa figurile originale. După cum rezultă din proprietatea de bază a tangentei, se găsesc punctele cerute în ambele cercuri. Problema este rezolvată, cel puțin, prima sa parte.

Pentru a construi tangente interne, este necesar să se rezolve practic o problemă similară. Din nou avem nevoie de o figură auxiliară, dar de această dată raza ei va fi egală cu suma celor originale. Pentru aceasta, tangentele sunt construite din centrul unuia din aceste cercuri. Cursul ulterior al soluției poate fi înțeles din exemplul anterior.

Tangenta la un cerc sau chiar doi sau mai multe nu este o sarcină atât de dificilă. Desigur, matematicienii au încetat de mult să rezolve manual astfel de probleme și calculele de încredere în programe speciale. Dar nu credeți că acum nu trebuie să reușiți să faceți acest lucru singur, deoarece pentru a formula lucruri adecvate pentru computer trebuie să faceți o mulțime și să înțelegeți. Din păcate, există temeri că, după trecerea finală la forma de testare a controlului cunoștințelor, sarcinile de construcție vor provoca din ce în ce mai multe dificultăți studenților.

În ceea ce privește găsirea de tangente comune pentru mai multe cercuri, acest lucru nu este întotdeauna posibil, chiar dacă acestea se află în același plan. Dar, în unele cazuri, puteți găsi o astfel de linie dreaptă.

Exemple din viață

O comună tangentă a două cercuri se găsește adesea în practică, deși acest lucru nu este întotdeauna vizibil. Conveieri, sisteme modulare, de transmisie curele scripeți, tensiunea firului într-o mașină de cusut, dar chiar și doar un lanț de bicicletă - exemple de viață. Deci nu credeți că problemele geometrice rămân doar teoretic: în inginerie, fizică, construcții și multe alte domenii găsesc aplicații practice.