Sine, cosinus, tangent: ce este? Cum de a găsi sinus, cosinus și tangent?

Una dintre ramurile matematicii cu care elevii face față cea mai mare dificultate, este trigonometrie. Nu este surprinzător: să stăpânească în mod liber acest domeniu al cunoașterii, este nevoie de o gândire spațială, capacitatea de a găsi sinus, cosinus, tangenta, cotangentă de formule pentru a simplifica exprimarea, pentru a putea fi utilizate la calcularea valorii Pi. În plus, trebuie să fie în măsură să utilizeze trigonometrie pentru a dovedi teoreme, și necesită o memorie de matematică dezvoltată sau capacitatea de a afișa lanț logic complicat.

Originea trigonometriei

Cunoașterea acestei științe ar trebui să înceapă cu definirea sinusului, cosinusului și tangentei unghiului, dar mai întâi trebuie să înțelegem ce trigonometrie face în general.

Din punct de vedere istoric, obiectul principal al cercetării din această secțiune a științei matematice a fost triunghiurile dreptunghiulare. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurinei în cauză pe două laturi și pe un colț sau pe două unghiuri și pe o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să o folosească în mod activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar artă.

Etapa inițială

Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul de triunghiuri dreptunghiulare. Apoi s-au deschis formule speciale care au permis extinderea limitelor de utilizare în viața de zi cu zi a acestei secțiuni de matematică.

Studiul trigonometriei în școală astăzi începe cu triunghiuri dreptunghiulare, după care elevii folosesc cunoștințele în fizică și rezolvă ecuațiile trigonometrice abstracte, lucrarea cu care începe în clasele superioare.

Trigonometria sferică

Mai târziu, când știința a intrat în următorul nivel de dezvoltare, cu formula sinus, cosinus, tangenta, cotangentă au fost folosite în geometria sferică, în cazul în care există reguli diferite, iar suma unghiurilor într-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este predată în școală, dar să știe de existența ei trebuie să fie un minim, deoarece suprafața pământului, iar suprafața oricărei alte planete, este convexă, și, prin urmare, orice marcaje de suprafață vor fi în tridimensional spațiu „arc“.

Luați globul și firul. Atașați firul la oricare dintre cele două puncte de pe glob pentru al face să se întindă. Fiți atenți - a găsit forma arcului. Cu astfel de forme, se aplică geometria sferică, care este utilizată în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.

Dreptunghiular triunghi

Câteva metode de învățare despre aplicarea trigonometrie, vom reveni la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ceea ce un sinus, cosinus, tangenta, unele calcule le pot folosi pentru a efectua și ce fel de formula în care se utilizează.

În primul rând, este necesar să înțelegem conceptele legate de un triunghi în unghi drept. În primul rând, hypotenuse este partea care se află opus unghiului de 90 de grade. Este cea mai lungă. Ne amintim că prin teorema lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumelor dintre pătratele celorlalte două părți.

De exemplu, dacă cele două laturi sunt de 3 și respectiv 4 centimetri, lungimea hipotenentei va fi de 5 centimetri. Apropo, vechii egipteni știau despre asta acum patru ani și jumătate de mii de ani.

Cele două laturi rămase, care formează un unghi drept, se numesc catetete. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor din triunghi într-un sistem de coordonate dreptunghiular este de 180 de grade.

definiție

În cele din urmă, înțelegând cu fermitate baza geometrică, se poate ajunge la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unghiului.

Un sinus al unui unghi este raportul piciorului opus (adică, partea opusă unghiului dorit) față de hypotenuse. Cosinusul unghiului este raportul piciorului adiacent la hypotenuse.

Amintiți-vă că nici sinusul, nici cosinusul nu pot fi mai mari decât unul! De ce? Deoarece hypotenuse este implicit cea mai lungă parte a unui triunghi drept. Indiferent cât timp va fi, va fi mai scurt decât hypotenuse, ceea ce înseamnă că raportul va fi întotdeauna mai mic decât unul. Astfel, dacă aveți un sinus sau un cosinus cu o valoare mai mare decât 1 în răspunsul la problemă, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este neechivoc incorect.

În cele din urmă, tangenta unghiului este raportul dintre partea opusă și partea adiacentă. Același rezultat va duce la împărțirea sinusului cu cosinusul. A se vedea: în conformitate cu formula, împărțim lungimea laturii ipotenuzei, apoi se împarte la lungimea celei de a doua parte și se înmulțește cu ipotenuza. Astfel, obținem aceeași relație ca și în definiția tangentei.

Cotangent, respectiv, este raportul dintre partea adiacentă colțului și partea opusă. Acelasi rezultat se obtine prin impartirea unitatii prin tangenta.

Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce este un sinus, cosinus, tangent și cotangent și putem face față formulelor.

Cele mai simple formule

În formulele trigonometrie nu se poate face fără - cum să găsească sinus, cosinus, tangenta, cotangentă fără ele? Dar aceasta este ceea ce este necesar pentru rezolvarea problemelor.

Prima formulă pe care trebuie să o cunoașteți atunci când începeți să învățați trigonometria este că suma pătratelor sinusului și cosinusului unghiului este una. Această formulă este o consecință directă a teoremei pitagoreene, dar economisește timp dacă doriți să cunoașteți magnitudinea unghiului, nu partea.

Mulți studenți nu se pot aminti a doua formulă este, de asemenea, foarte popular în rezolvarea problemelor școlare: cantitatea de unități și tangenta pătrat este egală cu una împărțită la pătratul cosinusul unghiului. Priviți mai atent: aceasta este aceeași declarație ca și în prima formulă, numai ambele părți ale identității au fost împărțite într-un pătrat al cosinusului. Se pare că o simplă operație matematică face ca formula trigonometrică să fie complet nerecunoscută. Amintiți-vă, știind ce sinus, cosinus, tangenta și cotangentă, regulile de transformare, și câteva formule de bază, puteți aduce întotdeauna ei înșiși nevoie de formule mai complicate pe o bucată de hârtie.

Formule cu două unghiuri și adăugarea de argumente

Alte două formule pe care doriți să le învățați sunt legate de valorile sinus și cosinus pentru suma și diferența unghiurilor. Acestea sunt prezentate în figura de mai jos. Rețineți că, în primul caz, sinusul și cosinusul se înmulțesc de două ori, iar în cel de-al doilea caz se adaugă un produs pereche de sinus și cosinus.

Există, de asemenea, formule legate de argumente sub forma unui unghi dublu. Acestea sunt complet derivate din cele precedente - ca antrenament, încercați să le obțineți singuri, luând un unghi alfa egal cu colțul beta.

În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi transformate astfel încât să scadă gradul de sinus, cosinus, tangent alfa.

teoremă

Două teoreme de bază în trigonometria de bază sunt teorema sine și teorema cosinus. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinus, cosinus și tangent și, prin urmare, zona figurinei, dimensiunea fiecărei părți și așa mai departe.

Teorema sinusală afirmă că, ca urmare a împărțirii lungimii fiecărei laturi a triunghiului cu valoarea unghiului opus, obținem același număr. Mai mult decât atât, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică un cerc care conține toate punctele triunghiului dat.

Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectându-l pe orice triunghi. Se pare că suma pătratelor celor două părți scade produsul lor este înmulțită cu cosinusul unghiului dublu adiacent acestora - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul terțe părți. Astfel, teorema pitagoreană se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.

Erori prin neatenție

Chiar dacă știm ce este sinus, cosinus și tangent, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii atenției sau a erorii în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, ne vom familiariza cu cele mai populare.

În primul rând, nu trebuie să transformați fracțiile obișnuite în zecimale până când obțineți rezultatul final - puteți lăsa răspunsul ca o fracțiune obișnuită, dacă condiția nu prevede altfel. O astfel de transformare nu poate fi numită o greșeală, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a sarcinii pot apărea noi rădăcini care, conform intenției autorului, ar trebui reduse. În acest caz, vă veți pierde timpul în operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori cum ar fi o rădăcină de trei sau două, deoarece acestea sunt întâlnite în sarcini la fiecare pas. Același lucru se referă la rotunjirea numerelor "urâte".

Mai mult, rețineți că pentru orice triunghi se aplică teorema cosinusului, dar nu teorema lui Pythagoras! Dacă uitați în mod greșit să scăpați produsul dublat al laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, veți obține nu numai un rezultat complet greșit, ci și o dovadă de neînțelegere completă a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală din cauza lipsei de atenție.

În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiurile de 30 și 60 de grade pentru sines, cosines, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusoidul este de 30 de grade egal cu cosinusul de 60 și invers. Ele sunt ușor de confundat, astfel încât veți obține în mod inevitabil o eroare.

cerere

Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul său aplicat. Ce este un sinus, cosinus, tangent pentru un inginer sau un astronom? Acestea sunt concepte prin care poți calcula distanța până la stele îndepărtate, prezice căderea unui meteorit, trimite o probă unei alte planete. Fără ele nu puteți construi o clădire, nu puteți proiecta o mașină, nu calculați sarcina pe suprafață sau traiectoria mișcării obiectului. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.

În concluzie

Deci, știi ce este sinus, cosinus, tangent. Le puteți folosi în calcule și rezolvați cu succes problemele școlare.

Întregul punct al trigonometriei se referă la faptul că parametrii necunoscuți ai triunghiului trebuie să calculeze necunoscute. În total, acești parametri sunt șase: lungimea celor trei laturi și magnitudinea celor trei unghiuri. Diferența dintre sarcini este că sunt date diferite intrări.

Cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangentul de la lungimile cunoscute ale picioarelor sau hypotenuse, știți acum. Deoarece acești termeni nu se referă pur și simplu raportul, iar raportul - este o fracție, scopul principal al problemei trigonometric devine găsirea unei ecuații normale sau rădăcinile ecuații. Și aici veți fi ajutați de matematica școlară obișnuită.