Conceptul de bază al teoriei probabilității. Legile teoriei probabilității

Mulți, confruntați cu conceptul de "teorie a probabilității", sunt înspăimântați, gândindu-se că acest lucru este ceva dincolo de capacitate, foarte dificil. Dar totul nu este într-adevăr atât de tragic. Astăzi vom lua în considerare conceptul de bază al teoriei probabilității, vom învăța cum să rezolvăm problemele pe exemple specifice.

știință

Ce este studierea unei astfel de ramuri a matematicii ca "teorie de probabilitate"? Ea notează tiparele evenimente aleatorii și cantitățile. Pentru prima dată, oamenii de știință interesați de această problemă în secolul al optsprezecelea, când au studiat jocurile de noroc. Conceptul de bază al teoriei probabilității este un eveniment. Acesta este orice fapt constatat prin experiență sau observare. Dar ce este experiența? Un alt concept de bază al teoriei probabilității. Aceasta înseamnă că acest set de circumstanțe nu este creat întâmplător, ci cu un scop specific. În ceea ce privește observarea, atunci cercetătorul însuși nu participă la experiență, ci pur și simplu este un martor al acestor evenimente, el nu are nici o influență.

evenimente

Am aflat că conceptul de bază al teoriei probabilității este un eveniment, dar nu a luat în considerare clasificarea. Toate acestea se încadrează în următoarele categorii:

• Fiabil.
• Imposibil.
• Aleatorie.

Indiferent de evenimentele observate sau create în timpul experimentului, acestea fac obiectul acestei clasificări. Vă sugerăm să vă familiarizați cu fiecare specie separat.

Eveniment fiabil

Aceasta este o astfel de circumstanță, în fața căreia se face complexul necesar de măsuri. Pentru a înțelege mai bine esența, este mai bine să dați câteva exemple. Această lege este supusă fizicii, chimiei, economiei și matematicii superioare. Teoria probabilității include un concept atât de important ca un eveniment fiabil. Să dăm câteva exemple:

• Lucrăm și primim remunerație sub formă de salarii.
• Au trecut examene bune, au trecut concursul, pentru care primim o taxă sub formă de admitere la instituția de învățământ.
• Am investit banii în bancă, dacă este necesar, le vom aduce înapoi.

Astfel de evenimente sunt fiabile. Dacă am îndeplinit toate condițiile necesare, atunci vom obține cu siguranță rezultatul așteptat.

Evenimente imposibile

Acum luăm în considerare elementele teoriei probabilității. Propunem să procedăm la o explicație a următorului tip de eveniment, și anume, imposibilul. În primul rând, să discutăm regula cea mai importantă - probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

Din această formulă, nu vă puteți retrage atunci când rezolvați problemele. Pentru o explicație, oferim exemple de astfel de evenimente:

• Apa a înghețat la o temperatură de plus zece (acest lucru este imposibil).
• Absența electricității nu afectează în nici un fel producția (este la fel de imposibilă ca în exemplul precedent).

Mai multe exemple nu ar trebui să fie oferite, așa cum este descris mai sus, reflectă foarte clar esența acestei categorii. Un eveniment imposibil nu se va întâmpla niciodată în timpul experimentului în nici un caz.

Evenimente aleatorii

Studiind elementele teoriei probabilității, trebuie acordată o atenție deosebită acestui tip de eveniment. Ei sunt cei care studiază această știință. Ca urmare a experienței, se poate întâmpla ceva sau nu. În plus, testul poate fi efectuat de nenumărate ori. Exemple puternice sunt:

• O aruncare a monedei este o experiență sau un test, un vultur este un eveniment.
• Tragerea mingea din sac în mod orb - un test, o minge roșie a fost prins - acest eveniment și așa mai departe.

Astfel de exemple pot fi un număr nelimitat, dar, în general, esența ar trebui să fie clară. Pentru a rezuma și a sistematiza cunoștințele acumulate despre evenimente, este dat un tabel. Teoria probabilității studiază doar ultimul tip prezentat.

legii

Teoria probabilității este o știință care studiază posibilitatea abandonului unui eveniment. Ca si altii, are cateva reguli. Există următoarele legi ale teoriei probabilității:

• Convergența secvențelor variabilelor aleatoare.
• Legea numerelor mari.

Atunci când se calculează posibilitatea unui complex, se poate utiliza un complex de evenimente simple pentru a obține un rezultat mai ușor și mai rapid. Observăm că legile teoriei probabilității se dovedesc cu ușurință prin anumite teorii. Vă sugerăm mai întâi să vă familiarizați cu prima lege.

Convergența secvențelor variabilelor aleatoare

Rețineți că există mai multe tipuri de convergență:

• Secvența variabilelor aleatorii este convergentă în probabilitate.
• Aproape imposibil.
• Convergența medie pătrată.
• Convergența în distribuție.

Deci, în zbor, este foarte dificil să ajungeți la punct. Iată definițiile care vă vor ajuta să înțelegeți acest subiect. Pentru a începe, prima vedere. Se numește secvența convergent în probabilitate, dacă următoarea condiție este îndeplinită: n tinde spre infinit, numărul la care tendința are tendința este mai mare decât zero și este aproape de unitate.

Continuăm la formularul următor, aproape sigur. Se spune că secvența converge aproape sigur la o variabilă aleatorie la n, tinzând spre infinit, și P tinând spre o valoare apropiată de unitate.

Următorul tip este convergență medie pătrat. Atunci când se folosește convergența SC, studiul proceselor aleatorii vectoriale se reduce la studiul proceselor aleatorii coordonate.

Ultimul tip rămâne, să aruncăm o scurtă privire la el și să mergem direct la rezolvarea problemelor. Convergența în distribuție are un alt nume - "slab", explică și mai mult de ce. Convergență slabă Este convergența funcțiilor de distribuție în toate punctele de continuitate a funcției de distribuție limitativă.

Asigurați-vă că îndepliniți promisiunea: convergența slabă diferă de toate cele de mai sus prin faptul că o variabilă aleatoare nu este definită pe un spațiu de probabilitate. Acest lucru este posibil deoarece condiția este formată exclusiv prin utilizarea funcțiilor de distribuție.

Legea numărului mare

Excelenții teoreticieni în dovada acestei legi vor fi teoremele teoriei probabilității, cum ar fi:

• Inegalitatea lui Chebyshev.
• Teorema lui Chebyshev.
• Generalizată teorema lui Chebyshev.
• Teorema lui Markov.

Dacă luăm în considerare toate aceste teoreme, atunci această întrebare poate fi întârziată cu câteva duzini de coli. În țara noastră, sarcina principală este de a aplica teoria probabilităților în practică. Vă sugerăm să faceți acest lucru chiar acum. Dar, înainte de aceasta, luăm în considerare axiomele teoriei probabilității, ele vor fi principalii asistenți în rezolvarea problemelor.

axiome

De la primul am întâlnit deja când am vorbit despre un eveniment imposibil. Să ne amintim: probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Exemplul pe care l-am dat a fost foarte luminos și memorabil: zăpada a căzut la o temperatură a aerului de treizeci de grade Celsius.

Al doilea sună astfel: un eveniment fiabil are loc cu o probabilitate egală cu una. Acum, să arătăm cum poate fi scris acest lucru folosind limba matematică: P (B) = 1.

În al treilea rând: Un eveniment aleatoriu poate să apară sau nu, dar posibilitatea variază întotdeauna de la zero la unu. Cu cât valoarea unității este mai apropiată, cu atât sunt mai mari șansele, dacă valoarea se apropie de zero, probabilitatea este foarte mică. Vom scrie acest lucru în limba matematică: 0

Luați în considerare ultimul, al patrulea axiom, care are următorul conținut: probabilitatea sumelor a două evenimente este egală cu suma probabilităților lor. Se scrie în limba matematică: P (A + B) = P (A) + P (B).

Axiomele teoriei probabilității sunt cele mai simple reguli care pot fi ușor memorate. Să încercăm să rezolvăm unele probleme, bazându-ne pe cunoștințele deja dobândite.

Bilet pentru loterie

În primul rând, să examinăm cel mai simplu exemplu - o loterie. Imaginați-vă că ați cumpărat un bilet loterie pentru noroc. Care este probabilitatea că vei câștiga cel puțin douăzeci de ruble? În total, o mie de bilete sunt implicate în circulație, dintre care unul are un premiu de cinci sute de ruble, zece pentru o sută de ruble, cincizeci pentru douăzeci de ruble și o sută pentru cinci ruble. Problemele din teoria probabilității se bazează pe găsirea unei șanse de succes. Acum, împreună vom analiza soluția sarcinii de mai sus.

Dacă indicăm cu litera A câștigurile a cinci sute de ruble, atunci probabilitatea de pierdere a lui A va fi 0,001. Cum am obținut asta? Doar nevoie de numărul de bilete "norocos" împărțit la numărul total de ei (în acest caz: 1/1000).

In - acesta este un câștig de 100 de ruble, probabilitatea va fi de 0,01. Acum am acționat pe același principiu ca și în acțiunea anterioară (10/1000)

C - câștigul este egal cu douăzeci de ruble. Vom găsi probabilitatea, este egală cu 0,05.

Restul biletelor nu ne interesează, deoarece fondul de premiere este mai mic decât cel stabilit în condiție. Aplicați a patra axiomă: Probabilitatea de a câștiga cel puțin douăzeci de ruble este P (A) + P (B) + P (C). Scrisoarea P denotă probabilitatea originii acestui eveniment, le-am găsit deja în acțiunile anterioare. Rămâne doar să adăugăm datele necesare, în răspunsul obținut de 0,061. Acest număr va fi răspunsul la întrebarea despre cesiune.

Card de memorie

Problemele din teoria probabilității sunt mai complexe, de exemplu, luăm următoarea sarcină. Înainte de a fi un pachet de treizeci și șase cărți. Sarcina ta este să desenezi două cărți la rând, fără a amesteca stiva, prima și a doua carte trebuie să fie ași, costumul nu contează.

În primul rând, vom găsi probabilitatea ca prima carte să fie un as, pentru că noi împărțim patru cu treizeci și șase. L-au pus deoparte. Avem a doua carte, va fi un as, cu o probabilitate de trei treizeci și cinci. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment depinde de cartea pe care am tras-o mai întâi, ne întrebăm dacă a fost un as sau nu. Din aceasta rezultă că evenimentul B depinde de evenimentul A.

Următorul pas vom găsi probabilitatea de punere în aplicare simultană, adică, se multiplica A și B. Munca lor este după cum urmează: probabilitatea unui eveniment înmulțită cu probabilitatea condiționată de o alta, vom calcula, presupunând că a avut loc primul eveniment, și anume, primul card am tras un as.

Pentru ca totul să devină clar, vom da o desemnare unui element cum ar fi probabilitate condiționată evenimente. Se calculează, presupunând că a avut loc evenimentul A. Se calculează după cum urmează: P (B / A).

Continuăm rezolvarea problemei noastre: P (A_*B) = P (A)_*P (B / A) sau P (A_*B) = P (B)_*P (A / B). Probabilitatea este (4/36)_*((3/35) / (4/36) .Calculați, rotunjind la cea mai apropiată sutime Avem: 0,11_*(0,09 / 0,11) = 0,11_*0,82 = 0,09. Probabilitatea de a atrage doi ași la rând este egală cu nouă sute. Valoarea este foarte mică, rezultă că probabilitatea de origine a evenimentului este extrem de mică.

Numărul uitat

Propunem dezasamblarea câtorva variante ale sarcinilor pe care le studiază teoria probabilităților. Ați văzut deja exemple de rezolvare a unora dintre ele în acest articol, vom încerca să rezolvăm următoarea problemă: băiatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon al prietenului său, dar din moment ce apelul a fost foarte important, a început să scrie totul la rândul său. Trebuie să calculam probabilitatea că nu va chema mai mult de trei ori. Soluția problemei este cea mai simplă dacă sunt cunoscute regulile, legile și axiomele teoriei probabilității.

Înainte de a vă uita la soluție, încercați să o rezolvați singuri. Știm că ultima cifră poate fi de la zero la nouă, adică doar zece valori. Probabilitatea de a introduce tipul dorit este de 1/10.

Apoi, trebuie să luăm în considerare variantele originii evenimentului, să presupunem că băiatul a ghicit și a introdus imediat în cel corect, probabilitatea unui astfel de eveniment este de 1/10. A doua opțiune: primul apel este o ratare, iar al doilea este în țintă. Calculați probabilitatea unui astfel de eveniment: 9/10 înmulțit cu 1/9, în final obținem și 1/10. A treia opțiune: primul și al doilea apel nu au fost la adresă, numai de la cel de-al treilea băiat a ajuns acolo unde voia. Calculăm probabilitatea unui astfel de eveniment: 9/10 înmulțit cu 8/9 și cu 1/8, obținem 1/10 ca rezultat. Alte variante nu ne interesează de starea problemei, așa că trebuie să adăugăm rezultatele, în cele din urmă avem 3/10. Raspuns: probabilitatea ca baiatul sa sune nu mai mult de trei ori este de 0,3.

Cartele cu numere

Înainte de a primi nouă cărți, fiecare dintre acestea fiind scrise cu un număr de la unu la nouă, numerele nu se repetă. Au fost puse într-o cutie și amestecate bine. Trebuie să calculați probabilitatea că

• va exista un număr par,
• două cifre.

Înainte de a trece la soluție, să presupunem că m este numărul de cazuri de succes și n este numărul total de opțiuni. Să găsim probabilitatea ca numărul să fie egal. Nu va fi dificil să se calculeze că există chiar patru numere, acesta va fi m, putem avea nouă variante, adică m = 9. Apoi probabilitatea este de 0,44 sau 4/9.

Considerăm al doilea caz: numărul de opțiuni este de nouă și nu pot exista rezultate reușite, adică m este egal cu zero. Probabilitatea ca o cartelă alungită să conțină un număr de două cifre este, de asemenea, zero.