Cum puteți găsi punctele minime și maxime ale unei funcții: caracteristici, metode și exemple

Funcția și studiul caracteristicilor sale ocupă unul din capitolele-cheie ale matematicii moderne. Componenta principală a oricărei funcții sunt grafice care reprezintă nu numai proprietățile sale, ci și parametrii derivatului acestei funcții. Să ne uităm la acest subiect dificil. Deci, cât de bine se pot găsi punctele maxime și minime ale funcției?

Funcție: Definiție

Orice variabilă care depinde cumva de valorile unei alte cantități poate fi numită o funcție. De exemplu, funcția f (x²) este patratică și determină valorile pentru întregul set x. Să presupunem că x = 9, atunci valoarea funcției noastre va fi de 9²= 81.

Funcțiile pot fi de toate tipurile: logice, vectoriale, logaritmice, trigonometrice, numerice și altele. Ei au studiat minți precum Lacroix, Lagrange, Leibniz și Bernoulli. Lucrările lor servesc ca o fortăreață în moduri moderne de a studia funcțiile. Înainte de a găsi punctele minime, este foarte important să înțelegeți înțelesul funcției și al derivatului acesteia.

Derivații și rolul lor

Toate funcțiile depind de variabilele lor, ceea ce înseamnă că își pot schimba valoarea în orice moment. În grafic, aceasta va fi reprezentată ca o curbă, care este apoi aruncată, apoi se ridică de-a lungul ordinii (acesta este întregul set de numere "y" de-a lungul verticalului graficului). Astfel, definiția punctului maxim și minim al funcției este legată doar de aceste "fluctuații". Vom explica ce este această relație.

Derivatul oricărei funcții este reprezentat pe grafic pentru a studia caracteristicile sale principale și pentru a calcula cât de repede se schimbă funcția (adică modifică valoarea acesteia în funcție de variabila "x"). Într-o perioadă în care funcția este în creștere, graficul derivatului său va crește, de asemenea, dar în orice moment funcția poate începe să scadă și apoi graficul derivat va scădea. Punctele la care derivatul merge de la semnul minus la semnul plus se numesc punctele minime. Pentru a ști cum să găsiți punctele minime, ar trebui să înțelegeți mai bine conceptul de derivat.

Cum se calculează derivatul?

Definiția și calculul unui derivat funcția implică mai multe concepte de la calculul diferențial. În general, însăși definiția derivatului poate fi exprimată după cum urmează: aceasta este valoarea care indică rata de schimbare a funcției.

Modul matematic pentru ao defini pentru mulți studenți pare complicat, dar, de fapt, totul este mult mai simplu. Este necesar doar să urmați planul standard pentru găsirea derivatului oricărei funcții. Mai jos vom descrie cum puteți găsi punctul minim al unei funcții, fără a aplica reguli de diferențiere și fără a învăța tabelul derivat.

1. Calculați derivatul funcției folosind graficul. Pentru a face acest lucru, trebuie să reprezentați funcția însăși, apoi să luați un singur punct pe ea (punctul A în fig.). În plan vertical, trageți o linie pe axa absciselor (punctul x₀), iar la punctul A, trageți o tangență la graficul funcției. Axa abscisa si tangenta formeaza un unghi a. Pentru a calcula valoarea cât de rapid crește funcția, este necesar să se calculeze tangenta acestui unghi a.
2. Se pare că tangenta unghiului dintre tangent și direcția axei x este derivatul funcției pe o secțiune mică cu punctul A. Această metodă este considerată o metodă geometrică de determinare a derivatului.

Metode de investigare a funcției

În programul de școală al matematicii, este posibil să se găsească punctul funcțional minim în două moduri. Prima metodă cu ajutorul graficului deja dezasamblat, dar cum determinăm valoarea numerică a derivatului? Pentru a face acest lucru, trebuie să învățați câteva formule care descriu proprietățile derivatului și ajutați la convertirea variabilelor de tip "x" în cifre. Următoarea metodă este universală, astfel încât poate fi aplicată aproape tuturor tipurilor de funcții (atât geometrice cât și logaritmice).

1. Este necesară echivalarea funcției cu funcția derivată și apoi simplificarea expresiei utilizând regulile de diferențiere.
2. În unele cazuri, atunci când funcția dată, în care „x“ costuri variabile la numitor, trebuie să identificați intervalul de valori permise, eliminarea punctului de „0“ (pentru simplul motiv că, în matematică, în orice caz, nu se poate diviza de la zero).
3. După aceasta, este necesar să transformăm forma originală a funcției într-o ecuație simplă, echivalând întreaga expresie la zero. De exemplu, dacă funcția arăta astfel: f (x) = 2x³+38x, atunci, prin regulile de diferențiere, derivatul său este f `(x) = 3x²+1. Apoi transformăm această expresie într-o ecuație de forma următoare: 3x²+1 = 0.
4. După rezolvarea ecuației și găsirea punctelor "x", ar trebui să le reprezentați pe abscisă și să determinați dacă derivatul din aceste secțiuni între punctele marcate este pozitiv sau negativ. După notație, devine clar în ce punct începe să scadă funcția, adică modifică semnul de la negativ la negativ. În acest fel, puteți găsi atât punctele minime, cât și cele maxime.

Norme de diferențiere

Cea mai importantă componentă a studiului unei funcții și a derivatului său este cunoașterea regulilor de diferențiere. Numai cu ajutorul lor poți converti expresii greoaie și funcții complexe mari. Să le cunoaștem, sunt multe, dar toate sunt foarte simple datorită proprietăților obișnuite atât a funcțiilor de putere, cât și a funcțiilor logaritmice.

1. Derivatul oricărei constante este egal cu zero (f (x) = 0). Aceasta este derivatul f (x) = x⁵+ x - 160 ia forma: f `(x) = 5x⁴+1.
2. Derivatul sumei a doi termeni: (f + w) `= f`w + fw`.
3. Derivatul funcției logaritmice: (log_od) `= d / ln a * d. Această formulă se aplică tuturor tipurilor de logaritmi.
4. Derivații de grad: (xⁿ) `= n * x<sup>n-1</sup>. De exemplu, (9x<sup>2</sup>) `= 9 * 2x = 18x.
5. Derivatul funcției sinusoidale: (sin a) `= cos a. Dacă păcatul unghiului a este de 0,5, atunci derivatul său este Radic-3/2.

Puncte extreme

Am analizat deja cum să găsim punctele minime, dar există un concept al punctelor maxime ale funcției. Dacă valoarea minimă reprezintă punctele în care funcția produsul cu semnul minus la un plus, punctele maxime sunt punctele de pe axa x, la care modificările derivate de la plus funcția pe invers - minus.

Puteți găsi punctele maxime conform metodei descrise mai sus, dar trebuie să rețineți că acestea denotă acele părți pe care funcția începe să scadă, adică derivatul va fi mai mic decât zero.

În matematică, este obișnuit să generalizăm ambele concepte, înlocuindu-le cu fraza "puncte extremum". Când o lucrare este rugată să determine aceste puncte, înseamnă că este necesar să se calculeze derivatul unei funcții date și să se găsească punctele minime și maxime.