Teorema sinusoidală. Rezolvarea triunghiurilor

Studiul triunghiurilor ridică involuntar chestiunea calculării relației dintre laturile și unghiurile lor. În geometrie teorema cosinusului iar sinusul oferă răspunsul cel mai complet pentru a rezolva această problemă. Abundența de diferite expresii matematice și formule, legi, teoreme și reguli sunt de așa natură încât diferite armonie extraordinare, concis și ușor să se hrănească un prizonier în ele. Teorema sinusoidală este un exemplu viu al unei astfel de formulări matematice. Dacă interpretarea verbală și totuși există un anumit obstacol în înțelegerea regulilor matematice, atunci când te uiți la o formulă matematică dintr-o dată se încadrează în loc.

Primele informații despre această teoremă s-au găsit sub formă de probe a acesteia în cadrul lucrărilor matematice a Nasir al-Din al-Tusi, care datează din secolul al XIII-lea.

Se apropie mai aproape de relația dintre laturile și unghiurile în orice triunghi, este demn de remarcat faptul că teorema sine ne permite să rezolve multe probleme matematice, și geometria legii găsește aplicarea într-o varietate de activitate umană practică.

Teorema sinusurilor afirmă că, pentru orice triunghi, laturile sunt proporționale cu sinele de unghiuri opuse. Există, de asemenea, a doua parte a acestei teoreme, conform căreia raportul oricărei părți a triunghiului la sinusul unghiului opus este diametrul unui cerc, descris în apropierea triunghiului examinat.

Sub forma unei formule, această expresie arată

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Are o teoremă a dovezii sinusoidale, care în diferite variante de manuale este oferită într-o varietate bogată de versiuni.

De exemplu, ia în considerare una dintre dovezile care explică prima parte a teoremei. Pentru aceasta, să stabilim scopul de a dovedi validitatea expresiei osinc=cSINA.

Într-un triunghi arbitrar ABC construim înălțimea BH. Într-una din variantele construcției, H va fi așezat pe segmentul AC, iar în celălalt în afară, în funcție de unghiurile de la vârfurile triunghiurilor. În primul caz, înălțimea poate fi exprimată în unghiuri și laturi ale triunghiului, ca BH = sinC și BH = c sinA, ceea ce este dovada necesară.

În cazul în care punctul H este în afara limitelor segmentului AC, putem obține următoarele soluții:

BH = un sinC și BH = c sin (180-A) = c sinA;

sau BH = un păcat (180-C) = sinC și BH = c sinA.

După cum vedem, indiferent de opțiunile de construcție, ajungem la rezultatul dorit.

Dovada a doua parte a teoremei ne cere să descriem un cerc în jurul triunghiului. Printr-una din înălțimile triunghiului, de exemplu B, construim diametrul cercului. Obțineți un punct pe cercul D cu una din înălțimea triunghiului, lăsați-l să fie punctul A al triunghiului.

Dacă luăm în considerare triunghiurile rezultate ABD și ABC, atunci putem observa egalitatea unghiurilor C și D (se bazează pe un singur arc). Și considerând că unghiul A este de nouăzeci de grade, atunci păcatul D = c / 2R, sau păcatul C = c / 2R, care trebuia să fie dovedit.

Teorema sinusoidale este punctul de plecare pentru o gamă largă de sarcini diferite. O atracție deosebită este aplicarea sa practică, ca un corolar al teoremei suntem capabili să se refere valoarea laturilor triunghiului, unghiurile opuse și raza (diametrul) al unui cerc circumscris în jurul triunghiului. Simplitatea și disponibilitatea formulei descrie această expresie matematică, lăsată să se folosească pe larg această teoremă pentru a rezolva problemele prin intermediul diferitelor dispozitive mecanice numărabile (conducători logaritmici, mese etc.), dar chiar și sosirea unor dispozitive computerizate puternice în serviciul unei persoane nu a redus relevanța acestei teoreme.

Această teoremă nu este inclusă numai în cursul obligatoriu al geometriei școlii secundare, ci se aplică și în anumite ramuri ale activității practice.