Cum de a rezolva inegalitățile? Cum de a rezolva inegalitățile fracționate și pătrate?

Conceptul de inegalitate matematică a apărut în antichitatea extremă. Acest lucru sa întâmplat atunci când un om primitiv a avut nevoie să compare și să înmulțească numărul și magnitudinea numărărilor și acțiunilor cu obiecte diferite. Pornind de la cele mai vechi timpuri folosite inegalitățile în argumentele lor Arhimede, Euclid și alți oameni de știință celebri: matematicieni, astronomi, ingineri și filozofi.

Dar ei, ca regulă, au folosit terminologia verbală în lucrările lor. Pentru prima dată, semnele moderne pentru noțiunile de "mai mult" și "mai puțin", așa cum sunt cunoscute de fiecare elev de astăzi, au fost inventate și aplicate în practică în Anglia. Matematicianul Thomas Garriott a oferit un astfel de serviciu descendenților. Și sa întâmplat acum patru secole.

Există multe tipuri de inegalități. Printre ele, simple, care conțin una, două sau mai multe variabile, relații pătrate, fracționare, complexe și chiar reprezentate de un sistem de expresii. Și pentru a înțelege cum să rezolve inegalitățile, este mai bine să faceți exemple diferite.

Nu rata trenul

În primul rând, imaginați-vă că un locuitor dintr-o zonă rurală se grăbește spre o stație de cale ferată, aflată la 20 km de satul său. Pentru a nu întârzia trenul plecând la ora 11, el trebuie să părăsească casa la timp. În ce oră este necesar să faceți acest lucru dacă viteza mișcării sale este de 5 km / h? Soluția acestei probleme practice se reduce la îndeplinirea condițiilor de exprimare: 5 (11 - X) ge-20, unde X este timpul de plecare.

Acest lucru este de înțeles, pentru că distanța pe care trebuie să se deplaseze la stația sătean viteză egală, înmulțit cu numărul de ore pe drum. Un om poate veni mai devreme, dar nu poate întârzia. Cunoscând cum să rezolvăm inegalitățile și să le aplicăm în practică, în cele din urmă obținem X le-7, care este răspunsul. Aceasta înseamnă că țăranul ar trebui să meargă la gară la ora șapte dimineața sau puțin mai devreme.

Numărul de goluri de pe linia de coordonate

Acum, hai să aflăm cum să facem harta relațiilor descrise linia de coordonate. Inegalitatea obținută mai sus nu este strictă. Aceasta înseamnă că variabila poate avea valori mai mici de 7 și poate fi egală cu acest număr. Dăm alte exemple. Pentru a face acest lucru, luați în considerare cu atenție cele patru cifre de mai jos.

Pe prima dintre ele puteți vedea o reprezentare grafică a intervalului [-7- 7]. Se compune dintr-un set de numere plasate pe linia de coordonate și situate între -7 și 7, inclusiv granițele. În acest caz, punctele de pe grafic sunt reprezentate sub forma unor cercuri umplute, iar diferența este înregistrată folosind paranteze pătrate.

A doua cifră este o reprezentare grafică a inegalității stricte. În acest caz, numerele de margine -7 și 7, arătate prin puncte perforate (nu umbrite), nu sunt incluse în setul specificat. Și înregistrarea decalajului însăși se face în paranteze după cum urmează: (-7- 7).

Asta este, a afla cum să rezolve neravenstvatakogo tip, și a primit acest răspuns, putem concluziona că acesta este compus din numere situate între aceste limite, în plus față de -7 și 7. Următoarele două cazuri trebuie să fie evaluate în același mod. A treia imagini figura lacune (-infin-- -7] U [7- + infin-), iar a patra - (-infin-- -7) U (7- + infin-).

Două expresii într-una

Puteți găsi adesea următoarea intrare: 7 < 2X - 3 < 12. Cum se rezolvă dubla inegalitate? Aceasta înseamnă că două condiții sunt suprapuse imediat asupra expresiei. Și fiecare dintre ele ar trebui luată în considerare pentru a obține răspunsul corect pentru variabila X. Luând în considerare acest lucru, obținem din relațiile 2X - 3> 7 și 2X - 3 < 11 următoarele:

5 < X < 7. Răspunsul final este scris în acest fel: (5-7). Acest lucru înseamnă că variabila este un set de valori, închise în spațiul dintre numerele 5 și 7, cu excepția frontierei.

Proprietăți similare cu ecuația

Ecuația este o expresie combinată de semn =, ceea ce înseamnă că ambele părți (stânga și dreapta) sunt identice în magnitudine. Prin urmare, de multe ori aceste relații sunt asociate cu imaginea baloanelor vechi, cu boluri instalate și fixate cu ajutorul unei pârghii. Acest dispozitiv este întotdeauna în echilibru dacă ambele capete sunt echilibrate în funcție de greutate. În acest caz, poziția nu se modifică dacă părțile din stânga și din dreapta sunt completate sau se pierd încărcături de aceeași masă.

Ecuația matematică pentru ambele părți, astfel încât acesta nu este rupt, puteți adăuga, de asemenea, același număr. În acest caz, poate fi pozitiv sau negativ. Cum puteți rezolva inegalitățile în acest caz și puteți face același lucru cu ei? Exemplele anterioare au arătat că da.

Diferența de la ecuație

Ambele părți ale expresiei, conectate prin semne < sau>, pot fi multiplicate și împărțite prin orice număr pozitiv. În acest caz, adevărul relației nu este încălcat. Dar cum să rezolve inegalitatea cu fracțiuni cu multiplicatori negativi și întregi, în fața cărora există un semn minus? Aici situația este complet diferită.

Să aruncăm o privire la acest exemplu: -3X < 12. Pentru a selecta o variabilă pe partea stângă, trebuie să le împărțiți fiecare cu -3. În acest caz, semnul inegalității se inversează. Obținem: X> -4, care este răspunsul la problemă.

Metoda de intervale

O inegalitate se spune a fi patratică dacă conține o variabilă ridicată la a doua putere. Un exemplu de astfel de relație este următoarea expresie: X² - 2X + 3> 0. Cum să rezolvăm inegalitățile patratice? Metoda cea mai convenabilă este metoda intervalului. Pentru a implementa acest lucru, partea stângă a raportului trebuie să fie factorizată. Se pare că: (X - 3) (X + 1). Apoi se recomandă găsirea zerourilor funcției și aranjarea punctelor rezultate în ordinea corectă pe linia de coordonate.

Apoi, trebuie să distribuiți semnele intervalelor rezultate, înlocuind în expresia oricărui număr aparținând acestui interval. În cazurile cele mai simple, este de obicei suficient pentru a face față cu cel puțin una dintre ele, iar restul - pentru a asigura intercalarea regula. În concluzie, rămâne doar să selectați intervalele potrivite pentru a obține soluția finală.

Inegalitățile inegale se supun legii corespondenței zonelor negative cu minusurile și cele pozitive cu plusurile. Adică, dacă expresia este mai mare decât zero, atunci trebuie să luăm decalajele numerice marcate cu semnul +. În caz contrar, soluția va fi secțiunile marcate cu -. Astfel, soluția inegalității noastre este scrisă ca (-infin-1) U (3- + infin-).

Alte exemple de aplicare a metodei interval

Metoda descrisă oferă un răspuns la o altă întrebare importantă: cum să rezolve inegalitățile fracționare, dacă în acest caz se aplică aceeași metodă de intervale? Să analizăm în detaliu cum se poate face acest lucru, folosind exemplul relației prezentate mai jos.

Aici, zerourile sunt punctele -9 și 4. Pentru a găsi soluțiile necesare pentru a le pune pe o axă de coordonate și de a defini semne de lacune, selectarea celor care vor fi marcate cu semnul plus. Trebuie notat că numai numărul 4 va fi completat.

Un alt punct va fi șters, deoarece -9 nu este inclus în intervalul de valori acceptabile. La urma urmei, numitorul este zero, ceea ce este imposibil în matematică. Cum să rezolvăm inegalitățile fracționate? În acest caz, răspunsul final este unificarea decalajelor: (-infin -9) U [4 + infin-).

Parabolele de pe grafic

Pentru a afla totul despre inegalități este adesea ajutată nu numai de desene pe linia de coordonate, ci și de imagini în planul cartezian. Diagrama unei dependențe patrate este cunoscută a fi o parabolă. Chiar și un desen schematic de acest tip este capabil să ofere răspunsuri aproape complete la întrebările puse. Considerăm că unele dintre tipurile de parabole oferă idei despre soluționarea inegalităților patratice.

Aici, în primul rând, vom clarifica câteva adevăruri pentru noi înșine. Orice expresie de acest tip este redusă la forma: ax² + În acest caz, dacă coeficientul a se dovedește a fi pozitiv, atunci parabola trebuie trasă cu ramurile în sus, în caz contrar - în jos. Și rădăcinile ecuației sunt punctele în care graficul funcției intersectează axa OX.

interpretare

Cunoașterea afirmațiilor de mai sus este foarte importantă pentru înțelegerea inegalităților pătrunde și a răspunsurilor la întrebările legate de ele. Desenați o diagramă a parabolei pe planul cartezian, pentru a rezolva este de a afla în ce moment funcția (de exemplu, valorile coordonatelor punctelor de pe axa y) ia + și -. În plus, dacă inegalitatea conține semnul>, atunci soluția sa va fi setul de valori acceptate de variabila X pentru pozitiv Y.

În cazul unui semn < în răspuns, indicii pentru X sunt dat cu Y negativ. Se întâmplă că parabola nu intersectează deloc axa OX. Acest lucru se întâmplă în cazurile în care A < 0. Apoi, în cazul în care graficul este situat în jumătatea superioară, răspunsul pentru un pătrat cu semnul inegalității> ar întinde (-infin-- + infin-). Și pentru < soluția este un set gol. Cu jumătatea inferioară a planului, acesta este cazul cu precizie și invers.

Despre beneficiile graficii

Imaginile de pe planul cartezian simplifică foarte mult problema pentru sistemele de ecuații. Figurile arată în mod clar soluții care reprezintă puncte de intersecție a liniilor aplicate. Rămâne doar să le calculați coordonatele și să notați răspunsul.

Același lucru este valabil și pentru inegalitățile. De exemplu, soluția y le-6-x (după cum este clar din figură) este linia dreaptă y = 6-x și, de asemenea, jumătate de plan situat sub această limită. Pentru un răspuns exact, puteți lua orice punct pe grafic (de exemplu (1-3) și înlocuiți coordonatele acestuia cu inegalitatea. le-6 - 1, adică raportul corect. Prin urmare, raționamentul de mai sus a fost adevărat.

Inegalitatea în x Ge² este descrisă de o regiune de pe planul cartezian situat în vasul parabolei, inclusiv limitele sale. Și la intersecția acestor sectoare găsim o soluție a relației scrise sub forma: x² la le- le-6-x. Acesta va fi limitat de dedesubt de linia parabolei și tăiat de sus prin linia dreaptă. Pentru a fi siguri, vom face din nou un control, înlocuind coordonatele oricărui punct care aparține acestei regiuni.

Luați (1-4). Obțineți: 1 4 le- le-6 - 1, care este din nou raportul corect. Din nou, este logic să remarcăm că inegalitățile au multe asemănări cu ecuațiile, deși sunt înzestrate cu diferențe semnificative.