Sistemul de inegalități este o soluție. Sistem de inegalități liniare

Inegalitățile și inegalitățile sunt unul dintre subiectele predate în învățământul secundar în algebră. La nivel de complexitate, nu este cel mai dificil, deoarece are reguli simple (despre ei puțin mai târziu). De regulă, elevii pot rezolva cu ușurință sistemul de inegalități. Acest lucru se datorează și faptului că profesorii pur și simplu "instruiesc" studenții lor pe această temă. Și nu pot face acest lucru, deoarece este studiat în viitor cu alte cantități matematice și este verificat și pentru OGE și USE. În manualele școlare, subiectul inegalităților și inegalităților este descris în detaliu, deci dacă o veți studia, este mai bine să le recurgeți. Acest articol redă numai materialele mari, iar în ea pot exista omisiuni.

Conceptul unui sistem de inegalități

Dacă ne întoarcem la limba științifică, putem defini conceptul de "sistem de inegalități". Acesta este un model matematic care reprezintă mai multe inegalități. Din acest model, desigur, ea are nevoie de o soluție, și în capacitatea sa de a acționa ca un răspuns comun pentru toate inegalitățile sistemului propus în loc de muncă (de obicei în ea și să scrie, de exemplu: „Rezolvați sistemul de inegalități 4 x + 1> 2 și 30 - x > 6 ... "). Cu toate acestea, înainte de a trece la tipurile și metodele de soluționare, trebuie să găsim ceva.

Sistemele de inegalități și sistemul de ecuații

În procesul de studiere a unui nou subiect, apar deseori neînțelegeri. Pe de o parte, totul este clar și mai degrabă vrea să înceapă rezolvarea sarcinilor, iar pe de altă parte - câteva momente rămân în "umbra", nu prea bine înțelese. De asemenea, unele elemente ale cunoștințelor deja dobândite pot fi interconectate cu altele noi. Ca rezultat al acestei "suprapuneri", apar adesea greșeli.

Prin urmare, înainte de a începe să analizăm subiectul nostru, trebuie să ne amintim de diferențele dintre ecuații și inegalități, sistemele lor. Pentru a face acest lucru, trebuie să explicăm încă o dată ce sunt conceptele matematice. Ecuația este întotdeauna egalitatea și este întotdeauna ceva egal (în matematică acest cuvânt este notat cu semnul "="). Inegalitatea este un model în care o cantitate sau mai mult sau mai puțin decât alta sau conține afirmația că nu sunt aceleași. Astfel, în primul caz, este necesar să se vorbească despre egalitate, iar în cel de-al doilea caz, oricât de evident ar putea fi din titlu, inegalitatea datelor originale. Sistemele de ecuații și inegalități practic nu diferă una de alta și metodele de rezolvare a acestora sunt aceleași. Singura diferență este că în primul caz folosim egalități, în timp ce în cea de-a doua inegalitate se utilizează.

Tipuri de inegalități

Există două tipuri de inegalități: numerice și variabile necunoscute. Primul tip este furnizat de cantitatea (număr), inegal între ele, de exemplu 8> 10. În al doilea rând - această inegalitate, care conține variabila necunoscută (notată cu o literă a alfabetului, de obicei X). Această variabilă necesită constatarea acesteia. În funcție de cât de multe dintre ele, în modelul matematic inegalitățile distins cu unul (alcătuiesc sistemul de inegalități cu o singură variabilă) sau mai multe variabile (alcătuiesc sistemul de inegalități cu mai multe variabile).

Ultimele două tipuri în ceea ce privește gradul de construcție și nivelul de complexitate al soluției sunt împărțite în simple și complexe. Simple sunt de asemenea numite inegalități liniare. Ele, la rândul lor, sunt împărțite în stricte și nestricătoare. Strict specific "spun" că o valoare trebuie neapărat să fie mai mică sau mai mare, deci aceasta este în forma ei pură o inegalitate. Putem oferi câteva exemple: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5, etc. Non-simple includ și egalitatea. Aceasta înseamnă că o valoare poate fi mai mare sau egală cu o altă valoare (semnul "ge;") sau mai mică sau egală cu o altă valoare (semnul "le;"). Chiar și în inegalitățile liniare, variabila nu se află în rădăcină, pătrat, nu este divizibilă de nimic, din cauza a ceea ce se numește "simplu". Cele complexe includ variabile necunoscute, a căror constatare necesită mai multe operații matematice. Ele sunt adesea găsite într-un pătrat, cub sau sub rădăcină pot fi modulare, log, fracționată, etc. Dar pentru că sarcina noastră este de a înțelege nevoia de sisteme de rezolvare a inegalităților, vorbim despre sistemul de inegalități liniare. Cu toate acestea, înainte de aceasta, ar trebui să spuneți câteva cuvinte despre proprietățile lor.

Proprietățile inegalităților

Următoarele dispoziții se aplică proprietăților inegalităților:

1. Semnul de inegalitate inversează dacă operația este utilizată pentru a inversa laturile (de exemplu, dacă t₁ T le-₂, apoi t₂ T Ge₁).
2. Ambele părți ale inegalității permit adăugarea aceluiași număr (de exemplu, dacă t₁ T le-₂, apoi t₁ + numărul de T le-₂ + număr).
3. Două sau mai multe inegalități care au semnul unei singure direcții permit adăugarea laturilor lor stângi și drepte (de exemplu, dacă t₁Ge T₂, T₃Ge T₄, apoi t₁ + T₃Ge T₂ + T₄).
4. Ambele părți ale inegalității se pot multiplica sau împărți la același număr pozitiv (de exemplu, dacă t₁ T le-₂ și numărul le-0, apoi numărul middot- T₁ ge-număr middot- T₂).
5. Două sau mai multe inegalități care au termeni pozitivi și semnul unei direcții permit unui om să se înmulțească unul pe altul (de exemplu, dacă t₁ T le-₂, T₃ T le-₄, T₁, T₂, T₃, T₄ ge-0 apoi t₁ middot- T₃ T le-₂ middot- T₄).
6. Ambele părți ale inegalității se lasă multiplicate sau împărțite de același număr negativ, dar semnul inegalității se modifică (de exemplu, dacă t₁ T le-₂ și numărul le-0, apoi numărul middot- T₁ ge-număr middot- T₂).
7. Toate inegalitățile au proprietatea de tranziție (de exemplu, dacă t₁ T le-₂ și t₂ T le-₃, apoi t₁ T le-₃).

Acum, după studierea principalelor prevederi ale teoriei referitoare la inegalități, putem trece direct la luarea în considerare a regulilor de rezolvare a sistemelor lor.

Soluția sistemelor de inegalități. Informații generale. moduri de a rezolva

Așa cum am menționat mai sus, soluția este valoarea variabilei, care este potrivită pentru toate inegalitățile sistemului dat. Soluția sistemelor de inegalități este implementarea acțiunilor matematice care, în cele din urmă, conduc la soluționarea întregului sistem sau dovedește că nu are soluții. În acest caz, spuneți că variabila se referă la un set numeric gol (scris astfel: litera care denotă o variabilă isin- (semnul "aparține") ø (semnul "set gol"), de exemplu, x isin- ø (citiți astfel: "Variabila" x "aparține setului gol"). Există mai multe modalități de a rezolva sisteme de inegalități: grafică, algebrică, metodă de substituire. Merită remarcat faptul că ele se referă la acele modele matematice care au mai multe variabile necunoscute. În cazul în care există numai una, este adecvată metoda intervalelor.

Metodă grafică

Aceasta permite rezolvarea sistemului de inegalități cu mai multe valori necunoscute (de la doi la mai sus). Datorită acestei metode, sistemul de inegalități liniare este rezolvat destul de ușor și rapid, prin urmare este metoda cea mai comună. Acest lucru se datorează faptului că construirea graficului reduce cantitatea de scriere a operațiilor matematice. Mai ales plăcută devine un pic distras de la mâner, ridica un creion cu o riglă și trece la pașii următori cu ei atunci când se realizează o mulțime de muncă și doresc un pic de diversitate. Cu toate acestea, această metodă nu este dispusă de faptul că trebuie să vă îndepărtați de sarcină și să vă schimbați activitatea mentală în desen. Cu toate acestea, acesta este un mod foarte eficient.

Pentru a rezolva sistemul de inegalități folosind metoda grafică, toți termenii fiecărei inegalități trebuie transferați la partea stângă. Semnele sunt inversate, dreptul ar trebui să fie scrise cu zero, atunci trebuie să scrieți fiecare inegalitate separat. Ca rezultat, inegalitățile produc funcții. După aceasta, puteți obține un creion și o riglă: acum va fi necesar să trasați un grafic al fiecărei funcții primite. Întregul set de numere, care va fi în intervalul de intersecție, va fi o soluție la sistemul de inegalități.

Metoda algebrică

Aceasta permite rezolvarea sistemului de inegalități cu două variabile necunoscute. Inegalitatea, de asemenea, trebuie să aibă același semn al inegalității (de ex., E. sunt obligate să conțină fie doar semnul „mai mult“, sau doar un semn de „mai puțin decât“ și așa mai departe.) În ciuda limitărilor sale, această metodă este, de asemenea, mult mai complexă. Se aplică în două etape.

Primul implică actul de a scăpa de una dintre variabilele necunoscute. Mai întâi trebuie să o selectați, apoi verificați prezența numerelor înainte de această variabilă. Dacă acestea nu sunt (atunci variabila va arata ca o singură literă), atunci nimic nu se va schimba în cazul în care există un (fel de variabilă este, de exemplu, așa - 5y și 12y), atunci trebuie să se asigure că în fiecare inegalitatea numărului înainte de variabila selectată a fost la fel. Pentru a face acest lucru, se înmulțește fiecare membru al inegalității cu un factor comun, de exemplu, în cazul în care prima inegalitatea înregistrată 3y, 5y iar al doilea, este necesar tuturor membrilor primei inegalității înmulțit cu 5, iar al doilea - pe 3. 15Y Get și 15Y, respectiv.

A doua etapă a soluției. Trebuie să transferăm partea stângă a fiecărei inegalități în laturile lor drepte, schimbând semnul fiecărui termen la dreapta, spre dreapta, pentru a scrie zero. Apoi vine cel mai interesant: eliminarea variabilei alese (altfel se numește "scurtarea") în timp ce se îndoaie inegalitățile. Avem o inegalitate cu o variabilă, care trebuie rezolvată. După aceasta, ar trebui să faceți același lucru, numai cu altă variabilă necunoscută. Rezultatele obținute vor fi soluția sistemului.

Metoda de substituție

Vă permite să rezolvați sistemul de inegalități, dacă este posibil, pentru a introduce o nouă variabilă. De obicei, această metodă este folosită atunci când o variabilă necunoscută într-un termen al inegalității este ridicată la a patra putere, iar în cealaltă are un pătrat. Astfel, această metodă vizează reducerea gradului de inegalitate în sistem. Inegalitatea eșantionului x⁴ - x² - 1 le-0 în acest fel este rezolvată după cum urmează. Se introduce o nouă variabilă, de exemplu, t. Ei scriu: "Fie t = x²", atunci modelul este rescris într-o nouă formă. În cazul nostru, ajungem t² - t - 1 le-0. Această inegalitate trebuie rezolvată prin metoda intervalului (aproximativ puțin mai târziu), apoi din nou la variabila X, apoi facem același lucru cu cealaltă inegalitate. Răspunsurile primite vor fi soluția sistemului.

Metoda de intervale

Acesta este cel mai simplu mod de a rezolva sistemele de inegalități și, în același timp, este universal și răspândit. Este folosit în liceu și chiar în învățământul superior. Esența ei constă în faptul că elevul caută lacune de inegalitate pe linia de numărul, care este tras într-un caiet (nu este programul, ci doar linia obișnuită cu numere). În cazul în care se intersectează intervalele de inegalități, se găsește soluția sistemului. Pentru a utiliza metoda intervalului, trebuie să efectuați următorii pași:

1. Toți termenii fiecărei inegalități sunt transportați în partea stângă cu o inversare a semnului (zero este scris în dreapta).
2. Inegalitățile sunt scrise separat, decizia fiecăruia este determinată.
3. Există intersecții ale inegalităților pe linia numărului. Toate numerele de la aceste intersecții vor fi soluția.

Ce mod de a utiliza?

Evident, cel care pare cel mai simplu și mai convenabil, dar există cazuri când sarcinile necesită o anumită metodă. Cel mai adesea în ele este scris că este necesar să se rezolve fie prin intermediul programului, fie prin metoda intervalului. Metoda algebrică de substituție și rar utilizate sau nu la toate, deoarece acestea sunt complexe și confuze, precum și o mai mare aplicabilitate pentru sistemele de ecuații de rezolvare, mai degrabă decât inegalitățile, deci ar trebui utilizate pentru a desena grafice și intervale. Acestea oferă claritate, care nu poate decât să faciliteze desfășurarea eficientă și rapidă a operațiilor matematice.

Dacă ceva nu funcționează

În timpul studierii unui subiect despre algebră, desigur, pot exista probleme cu înțelegerea sa. Și acest lucru este normal, deoarece creierul nostru este conceput astfel încât să nu poată înțelege materialul complex la un moment dat. Adesea, trebuie să recitiți paragraful, să luați ajutorul unui profesor sau să faceți sarcina de a rezolva sarcini tipice. În cazul nostru, ei privesc, de exemplu, astfel: "Rezolva sistemul de inegalități 3 x + 1 ge-0 și 2 x-1> 3. Așadar, aspirația personală, ajutorul din partea oamenilor și a practicilor externe ajută la înțelegerea oricărui subiect complex.

O remaniere?

Și rezabynik-ul este, de asemenea, foarte bun, dar nu pentru scrierea de teme, ci pentru auto-ajutor. Acestea pot fi găsite sistemului de inegalități cu decizia de a se uite la ele (ca template-uri), pentru a încerca să înțeleagă modul în care soluțiile de autor au făcut față cu sarcina, și apoi încercați să efectuați ca într-o manieră independentă.

constatări

Algebra este unul dintre cele mai dificile subiecte din școală. Ei bine, ce pot face? Matematica a fost întotdeauna aceasta: este dată cuiva ușor, dar unei persoane cu dificultate. Dar, în orice caz, trebuie amintit faptul că programul de educație generală este construit în așa fel încât orice student să se descurce. În plus, trebuie să ținem cont de un număr foarte mare de asistenți. Unele dintre ele au fost menționate mai sus.