Adăugarea și multiplicarea probabilităților: exemple de soluții și teorie

Studiul teoriei probabilității începe cu rezolvarea problemelor care implică adăugarea și multiplicarea probabilități. Este demn de menționat odată că elev în timpul dezvoltării acestui domeniu de cunoaștere poate confrunta cu o problemă: în cazul în care procesele fizice sau chimice pot fi reprezentate vizual și să înțeleagă empiric, nivelul de abstractizare matematică este foarte mare, și înțelegere aici vine doar cu experiență.

Cu toate acestea, jocul merită lumanarea, deoarece formulele - așa cum sunt discutate în acest articol și cele mai complexe - sunt folosite astăzi pretutindeni și se pot dovedi utile în lucrare.

origine

Destul de ciudat, impulsul dezvoltării acestei secțiuni a matematicii era jocurile de noroc. Într-adevăr, dicționarul, aruncarea monedei, pokerul, ruleta sunt exemple tipice în care se folosește adăugarea și multiplicarea probabilităților. Pe un exemplu de sarcini în orice manual, acest lucru poate fi văzut în mod clar. Oamenii erau interesați să învețe să-și sporească șansele de a câștiga, și trebuie să spun că unii au reușit în acest sens.

De exemplu, în secolul XXI, un om al cărui nume nu vor fi dezvăluite, ne-am folosit cunoștințele acumulate de secole pentru a literalmente „curata“ cazinou câștigătoare zeci de ruletă de milioane de dolari.

Cu toate acestea, în ciuda interesului sporit față de subiect, numai până în secolul al XX-lea sa dezvoltat un cadru teoretic care a făcut ca "theeor" să devină o persoană cu drepturi depline componentă a matematicii. Astăzi, în aproape fiecare știință puteți găsi calcule folosind metode probabilistice.

aplicabilitate

Un punct important în utilizarea adăugării și multiplicării probabilităților, probabilitatea condiționată este fezabilitatea teoremei limită centrală. În caz contrar, deși nu poate fi realizată de student, toate calculele, oricât de credibile ar părea, vor fi incorecte.

Da, un elev foarte motivat este tentat să folosească noile cunoștințe la fiecare ocazie. Dar, în acest caz, ar trebui să încetinești câteva și să subliniezi strict domeniul de aplicare.

Teoria probabilităților este preocupat de evenimentele aleatorii care sunt în mod empiric reprezintă rezultatele experimentelor pe care le putem arunca zarurile cu șase fețe, trageți cardul din pachet, pentru a prezice numărul de piese defecte din partid. Cu toate acestea, în anumite zone pentru a folosi formula acestei ramuri a matematicii nu poate fi categoric. Mai ales având în vedere probabilitățile de evenimente, evenimente de adunare și multiplicare teoreme, vom discuta mai târziu în articol, dar acum să ne întoarcem la exemple.

Concepte de bază

Un eveniment aleatoriu este un proces sau rezultat care poate sau nu să apară ca urmare a unui experiment. De exemplu, aruncăm un sandwich - se poate cădea cu ulei sau unt în jos. Orice dintre cele două rezultate va fi aleatoriu și nu știm în prealabil care va avea loc.

În studiul de adăugare și de înmulțire a probabilităților, avem nevoie de încă două concepte.

Denumită în comun de astfel de evenimente, apariția uneia dintre acestea nu exclude apariția altui. De exemplu, doi oameni trag în același timp la țintă. Dacă unul dintre ei face o lovitură de succes, nu afectează capacitatea celui de-al doilea să intre în "ochi de taur" sau să-și piardă dorința.

Incompatibile vor fi astfel de evenimente, a căror apariție este în același timp imposibilă. De exemplu, trăgând o singură minge din cutie, nu puteți obține simultan albastru și roșu.

denumire

Noțiunea de probabilitate este marcată de litera latină de capital P. Mai departe, în paranteze sunt argumente care denotă unele evenimente.

În formulele teoremei adiționale, probabilitatea condiționată, teorema de multiplicare, veți vedea expresii în paranteze, de exemplu: A + B, AB sau A | B. Ele vor fi calculate în diferite moduri, acum ne întoarcem la ele.

plus

Să luăm în considerare cazurile în care se utilizează formulele de adăugare și multiplicare a probabilităților.

Pentru evenimente inconsistente, cea mai simplă formulă de adăugare este relevantă: probabilitatea oricăror rezultate aleatoare este egală cu suma probabilităților fiecăruia dintre aceste rezultate.

Să presupunem că există o cutie cu 2 albastre, 3 roșii și 5 bile galbene. Total în casetă există 10 articole. Care este fracțiunea adevărului afirmației că vom scoate o minge albastră sau roșie? Va fi egal cu 2/10 + 3/10, adică cu 50%.

În cazul evenimentelor incompatibile, formula devine mai complicată, deoarece se adaugă un termen suplimentar. Să ne întoarcem într-un paragraf, după ce am luat în considerare o altă formulă.

multiplicare

Adunarea și multiplicarea probabilităților evenimentelor independente sunt folosite în diferite cazuri. Dacă, prin starea experimentului, suntem mulțumiți de oricare dintre cele două rezultate posibile, vom calcula suma; dacă vrem să obținem două rezultate, unul după altul, recurgem la o altă formulă.

Revenind la exemplul din secțiunea anterioară, dorim să scoatem prima minge albastră, apoi să rosim. Primul numar pe care il cunoastem este 2/10. Ce se întâmplă în continuare? Sharov rămâne 9, roșu printre ele la fel - trei piese. Conform calculelor, va fi de 3/9 sau 1/3. Dar ce faci cu două numere acum? Răspunsul corect este să îl înmulțiți pentru a obține 2/30.

Evenimente comune

Acum puteți reveni la formula sumă pentru evenimente comune. De ce am fost distrași de subiect? Pentru a afla cum se multiplică probabilitățile. Acum, această cunoaștere este utilă pentru noi.

Noi deja știm ce va fi primii doi termeni (la fel ca în formula discutată anterior de adăugare), dar acum trebuie să scădem produsul probabilităților, am învățat doar cum să numere. Pentru claritate, vom scrie formula: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). Se pare că, în aceeași expresie este folosită atât adăugarea și multiplicarea probabilități.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm oricare dintre cele două sarcini pentru a obține creditul. Putem rezolva prima cu o probabilitate de 0,3, iar cea de-a doua cu 0,6. Soluția: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Observați că adăugarea numerelor de aici nu este suficientă.

Probabilitatea condiționată

În sfârșit, există conceptul de probabilitate condiționată, argumentele cărora sunt notate în paranteze și separate de o linie verticală. Recordul P (A | B) se citește după cum urmează: "probabilitatea evenimentului A în condiția evenimentului B".

Să vedem un exemplu: un prieten vă oferă un dispozitiv, permiteți-i să fie un telefon. Poate fi spart (20%) sau defect (80%). Orice dispozitiv pe care îl aveți în mâinile dvs. vă puteți repara cu o probabilitate de 0,4 sau nu puteți să o faceți (0,6). În cele din urmă, dacă dispozitivul este în stare de funcționare, puteți ajunge la persoana potrivită cu o probabilitate de 0,7.

Este ușor să vedem cum se manifestă în acest caz probabilitatea condiționată: nu puteți trece la persoana în cazul în care telefonul este rupt și dacă funcționează, nu este nevoie să îl reparați. Deci, pentru a obține rezultate la "al doilea nivel", trebuie să aflați ce eveniment sa întâmplat la primul nivel.

calcule

Luați în considerare exemple de rezolvare a problemelor privind adăugarea și multiplicarea probabilităților, utilizând datele din paragraful anterior.

În primul rând, vom găsi probabilitatea că veți remedia dispozitivul dat. Pentru aceasta, în primul rând, trebuie să fie defectuoasă și, în al doilea rând, trebuie să faceți față reparării. Aceasta este o problemă tipică cu multiplicare: obținem 0,2 * 0,4 = 0,08.

Care este probabilitatea că veți ajunge imediat la persoana potrivită? Mai ușor decât simplu: 0,8 * 0,7 = 0,56. În acest caz, ați descoperit că telefonul funcționează și că a efectuat apelul cu succes.

În cele din urmă, ia în considerare această opțiune: ați primit un telefon rupt, l-ați fixat, ați format numărul, iar persoana de la capătul opus a luat telefonul. Aici este necesară înmulțirea celor trei componente: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.

Și dacă ai două telefoane care nu funcționează? Cât de probabil e să rezolvi cel puțin una dintre ele? Aceasta este o sarcină la adăugarea și multiplicarea probabilităților, deoarece se folosesc evenimente comune. Soluție: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Astfel, dacă primiți două dispozitive rupte în mâinile dvs., veți face față reparării în 64% din cazuri.

Utilizare atentă

După cum sa menționat la începutul articolului, utilizarea teoriei probabilității ar trebui să fie deliberată și conștientă.

Seria mai mare de experimente, mai aproape de valoarea prezisă teoretic al practicii rezultat. De exemplu, vom arunca o monedă. În teorie, cunoașterea probabilităților existența de adunare și multiplicare formule, putem prezice cât de mult timp va cădea „vultur“ și „cozi“ dacă facem un experiment de 10 ori. Am efectuat un experiment, și prin coincidență raportul a scăzut partide au fost 3 la 7. Cu toate acestea, în cazul în care, apare o serie de 100, 1000 sau mai multe încercări că parcela de dispersie a tuturor se apropie de teoretice: 44-56, 482-518 și așa mai departe.

Și acum imaginați-vă că acest experiment nu este realizat cu o monedă, ci cu producerea unei substanțe chimice mai noi, probabilitatea de a obține ceea ce nu știm. Am fi efectuat 10 experimente și, fără a obține un rezultat reușit, am putea rezuma: "este imposibil să se obțină o substanță". Dar cine știe, dacă am face a unsprezecea încercare, am putea realiza acest obiectiv sau nu?

Astfel, dacă se referă la necunoscut, la o zonă neexplorată, teoria probabilităților poate să nu fie aplicabilă. Fiecare încercare ulterioară în acest caz poate fi de succes și o generalizare a tipului "X nu există" sau "X este imposibil" va fi prematură.

Concluzii remarcabile

Deci, am luat în considerare două tipuri de probabilități adiționale, multiplicare și condiționale. Cu un studiu mai aprofundat al acestei zone, este necesar să învățăm să distingem situațiile în care se folosește fiecare formulă specifică. În plus, este necesar să ne imaginăm dacă metodele probabiliste sunt în general aplicabile în soluționarea problemei dvs.

Dacă practica, apoi, după un timp începe să efectueze toate operațiunile necesare numai în minte. Pentru cei care se bucură de jocuri de cărți, această abilitate poate fi considerat extrem de valoros - vă va crește în mod semnificativ șansele de a câștiga, doar de numărare probabilitatea de a obține un anumit card sau costum. Cu toate acestea, cunoștințele primite se pot găsi cu ușurință în alte domenii de activitate.