Moduri diferite de a dovedi teorema lui Pitagora: exemple, descrieri și recenzii

Într-una, poate fi sigur că o sută la sută că orice întrebare cu privire la ceea ce pătratul hypotenuse este egal cu, orice adult va răspunde cu îndrăzneală: "suma pătrată a picioarelor". Această teoremă sa stabilit ferm în mintea fiecărei persoane educate, dar este suficient doar să-i ceri pe cineva să-l dovedească și pot exista dificultăți. De aceea, să ne amintim și să luăm în considerare moduri diferite de a dovedi teorema pitagoreană.

Prezentare succintă a biografiei

Teorema lui Pitagora este familiară aproape tuturor, dar, din anumite motive, biografia persoanei care a produs-o nu este atât de populară. Acesta este fixabil. De aceea, înainte de a studia diferite moduri de a dovedi teorema lui Pitagoras, trebuie să ne cunoaștem pe scurt personalitatea.

Pitagora - filozoful, matematicianul, gânditorul inițial din Grecia antică. Astăzi este foarte greu să-i disting biografia de legendele care s-au format în memoria acestui mare om. Dar, după cum rezultă din scrierile adepților lui, Pitagora de Samos sa născut pe insula Samos. Tatăl său a fost un tăietor comun de piatră, dar mama lui a venit dintr-o familie nobilă.

Judecând după legenda, nașterea lui Pitagora a fost prezisă de o femeie pe nume Pythia, în a cărei cinste i-au numit-o pe băiat. Conform predicției sale, un baiat născut a trebuit să aducă multe beneficii și bine umanității. Care, de fapt, a făcut-o.

Nașterea teoremei

În tinerețe, Pythagoras sa mutat Insula Samos în Egipt, să se întâlnească acolo cu celebra înțelepți egipteni. După o întâlnire cu ei, a fost admis să studieze, unde a învățat toate marile realizări ale filosofiei, matematicii și medicinei egiptene.

Probabil că în Egipt Pythagoras a fost inspirat de măreția și frumusețea piramidelor și a creat marea sa teorie. Acest lucru poate șoca cititorii, dar istoricii moderni cred că Pythagoras nu și-a dovedit teoria. El și-a transferat cunoștințele numai adepților, care au finalizat mai târziu toate calculele matematice necesare.

Indiferent ce a fost, astăzi nu este o metodă de demonstrare a acestei teorii cunoscute, ci mai multe. Astăzi putem ghici doar exact cum grecii antice au făcut calculele lor, deci aici luăm în considerare moduri diferite de a dovedi teorema pitagoreană.

Teorema lui Pitagora

Înainte de a începe orice calcule, trebuie să aflați ce teorie să dovedească. Teorema lui Pitagoras sună astfel: "Într-un triunghi cu un unghi egal cu 90^despre, suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul hipotenentei. "

În total, există 15 moduri diferite de a demonstra teorema pitagoreană. Aceasta este o figură destul de mare, deci hai să acordăm atenție celor mai populare dintre ele.

Metoda unu

Mai întâi, să notăm ce ne este dat. Aceste date vor fi extinse la alte metode de demonstrare a teoremei pitagoreene, deci merită să ne amintim toate notațiile disponibile.

Să presupunem, având un triunghi dreptunghiular, cu picioarele a, b și hypotenuse, egale cu c. Primul mod de probă se bazează pe faptul că un dreptunghi trebuie să deseneze un pătrat.

Pentru a face acest lucru, este necesar să se deseneze un segment egal cu catetul la lungimea unui picior și invers. Acest lucru ar trebui să aibă ca rezultat două laturi egale ale pătratei. Rămâne doar să desenezi două linii drepte paralele, iar pătratul este gata.

În interiorul figurii rezultată, trebuie să desenați un alt pătrat cu o latură egală cu ipoteza triunghiului original. Pentru a face acest lucru, de la vârfurile ac și st trebuie să deseneze două segmente paralele de c. Astfel, obținem trei laturi ale pătratului, dintre care una este ipoteza triunghiului dreptunghiular original. Rămâne doar să subvenționăm al patrulea segment.

Pe baza cifrei rezultate, putem concluziona că aria suprafeței exterioare este (a + b)². Dacă te uiți în interiorul figurii, poți vedea că în plus față de patratul interior există patru triunghiuri dreptunghiulare în ea. Suprafața fiecăruia este de 0,5 aV.

Prin urmare, zona este: 4 * 0.5aв + с²= 2ав + с²

Prin urmare, (a + b)²= 2ав + с²

Și, prin urmare, cu²= a²+în²

Teorema este dovedită.

Metoda a doua: triunghiuri similare

Această formulă pentru dovada teoremei lui Pitagora a fost derivată pe baza unei afirmații dintr-o secțiune de geometrie pe triunghiuri similare. Se spune că o catehetă a unui triunghi drept este o medie proporțională pentru hypotenuse și un segment al hypotenuse emise de la vârful colțului 90^despre.

Datele inițiale rămân aceleași, așa că vom începe imediat cu dovada. Desenăm perpendicular pe partea AB un segment al SD. Pe baza declarației de mai sus, picioarele triunghiului sunt:

AC = radic-AB * AD, CB = radic-AB * DV.

Pentru a răspunde la întrebarea cum să demonstrăm teorema pitagoreană, dovada trebuie construită prin tăierea celor două inegalități.

AS²= AB * AD și CB²= AB * DV

Acum trebuie să adăugăm inegalitățile rezultate.

AS²+ NE²= AB * (АД * ДВ), unde АД + ДВ = АВ

Se pare că:

AS²+ NE²= AB * AB

Și, prin urmare:

AS²+ NE²= AB²

Dovada teoremei pitagoreene și diferitele modalități de rezolvare a acesteia necesită o abordare versatilă a acestei probleme. Cu toate acestea, această opțiune este una dintre cele mai simple.

O altă metodă de calcul

Descrierea diferitelor modalități de dovedire a teoremei pitagoreene nu se poate spune despre nimic, decât dacă tu însuți începi să practici. Multe metode oferă nu numai calcule matematice, ci și construirea unor figuri noi din triunghiul original.

În acest caz, este necesar să se completeze un alt triunghi dreptunghiular al VSD din BC. Astfel, acum există două triunghiuri cu un picior comun BC.

Știind că zonele cu cifre similare au un raport ca și pătratele dimensiunilor lor lineare similare, atunci:

S_ABC * cu²- S_AVD* în² = S_AVD* a²- S_RIR* a²

S_ABC* (s²-în²) = a²* (S._AVD-S_RIR)

cu²-în²= a²

cu²= a²+în²

Deoarece din diferitele metode de demonstrare a teoremei pitagoreene pentru gradul 8 această variantă nu este potrivită, se poate folosi următoarea procedură.

Cea mai simplă modalitate de a demonstra teorema lui Pitagora. opinii

Istoricii cred că această metodă a fost folosită pentru prima dată pentru a dovedi teorema chiar și în Grecia antică. Este cel mai simplu, deoarece nu necesită absolut nici o calcule. Dacă desenul este desenat corect, atunci dovada afirmației că a²+în²= s² , va fi văzut în mod clar.

Condițiile pentru această metodă vor fi ușor diferite de cele anterioare. Pentru a demonstra teorema, să presupunem că un triunghi drept ABC este un triunghi isoscel.

Luăm ipoteza AS pentru partea laterală a pătratului și avem trei laturi. În plus, este necesar să se deseneze două linii diagonale în pătratul rezultat. Astfel, pentru a obține patru triunghiuri isoscel în interior.

Pentru picioarele AB și CB, trebuie să aveți și un copil în piață și să trageți o linie diagonală în fiecare dintre ele. Prima linie este extrasă din vârful A, iar a doua linie este extrasă din C.

Acum trebuie să vă uitați atent la desenul rezultat. Întrucât există patru triunghiuri pe ipoteza AS, egală cu triunghiul inițial și pe picioare cu două, aceasta indică adevărul teoremei.

Apropo, datorită acestei metode de dovedire a teoremei lui Pitagora, a apărut faimosul frază: "Pantalonii pythagoreeni sunt egali în toate direcțiile".

Dovada lui G. Garfield

James Garfield este al douăzecilea președinte al Statelor Unite ale Americii. În plus, și-a lăsat amprenta în istorie ca domnitorul Statelor Unite, el a fost, de asemenea, un talentat auto-predat.

La începutul carierei sale a fost profesor obișnuit într-o școală publică, dar în curând a devenit directorul uneia dintre instituțiile de învățământ superior. Dorința de auto-dezvoltare ia permis să propună o nouă teorie a dovezii teoremei pitagoreene. Teorema și un exemplu al soluției sale sunt după cum urmează.

Mai intai trebuie sa trasati pe o bucata de hartie doua triunghiuri dreptunghiulare astfel incat cathetul uneia dintre ele sa fie o continuare a celui de-al doilea. Vârfurile acestor triunghiuri trebuie conectate astfel încât trapezul să se dovedească în cele din urmă.

După cum se știe, aria trapezului este egală cu produsul jumătății sumelor bazelor sale până la înălțime.

S = a + b / 2 * (a + b)

Dacă luăm în considerare trapezoidul rezultat ca o figură constând din trei triunghiuri, atunci suprafața sa poate fi găsită după cum urmează:

S = av / 2 * 2 + s²/ 2

Acum este necesar să egalizăm cele două expresii inițiale

2av / 2 + c / 2 = (a + v)²/ 2

cu²= a²+în²

O teoremă a lui Pythagoras și metodele demonstrației sale pot fi scrise nu doar dintr-un volum al manualului. Dar există vreun sens atunci când această cunoaștere nu poate fi aplicată în practică?

Aplicarea practică a teoremei pitagoreene

Din păcate, programele școlare moderne utilizează această teoremă numai în probleme geometrice. Absolvenții vor părăsi în curând zidurile școlare, fără să știe și cum își pot aplica cunoștințele și abilitățile în practică.

De fapt, toată lumea poate folosi teorema pitagoreană în viața de zi cu zi. Și nu numai în munca profesională, ci și în afacerile interne obișnuite. Să luăm în considerare mai multe cazuri în care teorema Pitagora și metodele de probă se dovedesc a fi extrem de necesare.

Legătura dintre teoremă și astronomie

Se pare că felul în care stelele și triunghiurile pot fi conectate pe hârtie. De fapt, astronomia este un domeniu științific în care teorema pitagoreană este folosită pe scară largă.

De exemplu, ia în considerare mișcarea unui fascicul de lumină în spațiu. Se știe că lumina se mișcă în ambele direcții cu aceeași viteză. Traiectoria AB, care mișcă o rază de lumină, este numită L. Și jumătate din timpul pe care lumina trebuie să o obțină de la punctul A la punctul B, o vom numiT. Și viteza fasciculului - c. Se pare că: c * t = l

Dacă ne uităm la această rază chiar dintr-un alt plan, de exemplu, dintr-o căptușire cosmică care se mișcă cu o viteză v, atunci cu o asemenea observație a corpurilor viteza lor se va schimba. În acest caz, chiar și elementele fixe se vor deplasa la o viteză v în direcția opusă.

Să presupunem că de linie de benzi desenate plutitoare dreapta. Apoi, punctele A și B, care este sfâșiată între grinda se va deplasa spre stânga. Mai mult decât atât, atunci când fascicul se mută de la punctul A la punctul B, punctul A timp să se miște, și, în consecință, lumina a intrat într-un nou punct de C. Pentru a găsi jumătate din distanța la care punctul A sa deplasat, este necesar să se înmulțească viteza navei în jumătate timpul de deplasare a fasciculului (t „).

d = t `* v

Și pentru a afla cât de departe ar putea trece o rază de lumină în acest timp, este necesar să desemnați jumătate din calea noilor faguri și să obțineți următoarea expresie:

s = c * t `

Dacă ne imaginăm că punctul de lumină C și B, precum și nava spațială - este vârful unui triunghi isoscel, segmentul de la punctul A la căptușeala se va împărți în două triunghiuri unghi drept. Prin urmare, datorită teoremei pitagoreene, se poate găsi distanța pe care o rază de lumină ar putea trece.

s² = l² + d²

Acest exemplu, desigur, nu este cel mai de succes, deoarece doar unitățile pot fi destul de norocoase să încerce în practică. Prin urmare, luați în considerare versiuni mai luminoase ale aplicării acestei teoreme.

Radiusul transmisiei semnalului mobil

Viața modernă este imposibil de imaginat fără existența unor smartphone-uri. Dar cât de mult ar fi pentru ei proc, dacă nu ar putea conecta abonații prin intermediul comunicațiilor mobile?

Calitatea comunicării mobile depinde în mod direct de altitudinea antenei operatorului de telefonie mobilă. Pentru a calcula distanța de la turnul mobil, telefonul poate primi un semnal, puteți aplica teorema lui Pythagorean.

Să presupunem că doriți să găsiți înălțimea aproximativă a unui turn fix, astfel încât să poată distribui semnalul într-o rază de 200 de kilometri.

AB (înălțimea turnului) = x;

BC (raza transmisiei semnalului) = 200 km;

OS (raza globului) = 6380 km;

De aici

OB = OA + ABOV = r + x

Aplicând teorema lui Pythagoras, vom afla că înălțimea minimă a turnului ar trebui să fie de 2,3 kilometri.

Teorema pitagora în viața de zi cu zi

În mod ironic, teorema pitagoreană se poate dovedi folositoare chiar și în chestiunile de zi cu zi, cum ar fi determinarea înălțimii dulapului, de exemplu. La prima vedere, nu este nevoie să utilizați astfel de calcule complexe, deoarece puteți pur și simplu să efectuați măsurători folosind ruleta. Dar mulți se întreabă de ce în procesul de asamblare există anumite probleme, dacă toate măsurătorile au fost luate mai mult decât exacte.

Faptul este că dulapul este asamblat într-o poziție orizontală și doar apoi se ridică și se fixează pe perete. Prin urmare, peretele lateral al dulapului în timpul ridicării structurii trebuie să treacă liber atât în ​​înălțime cât și în diagonală a încăperii.

Să presupunem că există o dulap cu o adâncime de 800 mm. Distanța de la podea până la tavan este de 2600 mm. Un producător de mobilă cu experiență va spune că înălțimea dulapului ar trebui să fie cu 126 mm mai mică decât înălțimea camerei. Dar de ce la 126 mm? Luați în considerare exemplul.

Să verificăm efectul teoremei pitagoreene asupra dimensiunilor ideale ale cabinetului:

AC = radic-AB²+Radic-Sun²

AC = radic-2474²+800²= 2600 mm - totul se converge.

Să presupunem că înălțimea dulapului nu este de 2474 mm, dar de 2505 mm. apoi:

AC = radic-2505²+Radic-800²= 2629 mm.

Prin urmare, acest dulap nu este potrivit pentru instalarea în această cameră. Ca atunci când o ridici într-o poziție verticală, îi puteți deteriora corpul.

Poate că, luând în considerare modalități diferite de a demonstra teorema lui Pythagoras de către diverși oameni de știință, putem concluziona că este mai mult decât adevărat. Acum, puteți folosi informațiile primite în viața de zi cu zi și să fiți încrezător că toate calculele vor fi nu numai utile, ci și adevărate.