Polyhedra obișnuită: elemente, simetrie și zonă

Geometria este frumoasă în faptul că, spre deosebire de algebră, unde nu este întotdeauna clar ce și de ce credeți, aceasta oferă vizibilitatea obiectului. Această lume uimitoare de diferite corpuri este decorată cu polyhedra obișnuită.

Informații generale despre poliedra obișnuită

Potrivit multora, polihedra obișnuită, sau așa cum sunt numite corpuri platonice, au proprietăți unice. Mai multe ipoteze științifice sunt asociate cu aceste obiecte. Când începe să studieze datele geometrice ale corpului, îți dai seama că aproape nu știu nimic despre un astfel de concept ca poliedre regulate. Prezentarea acestor obiecte în școală nu este întotdeauna interesant, așa că mulți nici măcar nu amintesc ce au fost chemați. În memoria majorității oamenilor rămâne doar cubul. Niciunul dintre corpurile din geometrie nu are o perfecțiune ca o poliedra obișnuită. Toate numele acestor organisme geometrice au provenit din Grecia Antică. Acestea reprezintă numărul de fețe: tetraedrului - patru laturi, hexaedre - Allen, octaedru - octogon, dodecaedrul - dodecahedral, icosaedru - icosaedrică. Toate aceste corpuri geometrice au ocupat cel mai important loc în conceptul de Platon despre univers. Patru dintre ele sunt încorporate elemente sau entități: tetraedrul - foc, icosaedru - cub de apă - pământ, octaedru - aer. Dodecaedrul a întrupat tot ceea ce există. El a fost considerat principal, pentru că era un simbol al universului.

Generalizarea conceptului de poliedru

Un polyhedron este o colecție de un număr finit de poligoane, astfel încât:

• fiecare parte a oricărui poligon este simultan partea unei singure poligoane de-a lungul aceleiași laturi;
• din fiecare dintre poligoane se poate trece la celălalt prin trecerea de-a lungul poligoanelor adiacente acestuia.

Poligoanele care alcătuiesc poliedronul sunt fețele sale, iar laturile lor sunt marginile. Vârfurile poligonului sunt vârfurile poligoanelor. Dacă conceptul de poligon este înțeles ca o linie poligonală închisă plană, atunci ei ajung la aceeași definiție a unui poliedru. În cazul în care acest termen înseamnă o parte a planului care este marcat de linii întrerupte, este necesar să se înțeleagă suprafața compusă din piese poligonale. Un polyhedron convex Corpul aflat pe o parte a planului adiacent feței sale este chemat.

O altă definiție a unui polyhedron și a elementelor sale

Un polidron este o suprafață constând din poligoane care leagă un corp geometric. Acestea sunt:

• non-convexe;
• convex (bine și rău).

Poliedrul obișnuit este un polyhedron convex cu simetrie maximă. Elemente de polyhedra regulate:

• tetraedru: 6 margini, 4 fețe, 5 vârfuri;
• hexaedron (cub): 12, 6, 8;
• dodecaedrone: 30, 12, 20;
• octaedron: 12, 8, 6;
• icosaedron: 30, 20, 12.

Teorema lui Euler

Acesta stabilește o legătură între numărul de muchii, vârfuri și fețe echivalente topologic cu o sferă. Adăugarea numărului de noduri și fețe (B + D) au diferite poliedre regulate și compararea acestora cu numărul de nervuri, este posibil să se stabilească o regulă: suma numărului de fețe egal cu numărul de noduri și muchii (P) a crescut cu 2. Este posibil să se obțină o formulă simplă:

• B + F = P + 2.

Această formulă este valabilă pentru toate polyhedra convexe.

Definiții de bază

Conceptul unui polyhedron obișnuit nu poate fi descris de o propoziție. Este mai polisemantic și mai voluminos. Pentru ca un organism să fie recunoscut ca atare, este necesar să se respecte mai multe definiții. Astfel, un corp geometric va fi un polyhedron obișnuit atunci când sunt îndeplinite următoarele condiții:

• este convex;
• Același număr de muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale;
• toate fețele sale sunt poligoane regulate egale una cu alta;
• toate unghiurile dihedral sunt egale.

Proprietățile de polyhedra obișnuite

Există 5 tipuri diferite de polihedra obișnuită:

1. Cub (hexaedron) - are un unghi plat la vârful de 90 °. Are un unghi 3-fațetat. Suma unghiurilor plane la vârf este de 270 °.
2. Tetraedrul este un unghi plat la vârful de 60 °. Are un unghi 3-fațetat. Suma unghiurilor plane la vârf este de 180 °.
3. Octaedrul este un unghi plat la vârful de 60 °. Are un unghi de 4 colțuri. Suma unghiurilor plane în partea de sus este de 240 °.
4. Dodecaedrul este un unghi plat la vârful de 108 °. Are un unghi 3-fațetat. Suma unghiurilor plane la vârf este de 324 °.
5. Icosahedron - are un unghi plat în partea de sus - 60 °. Are un unghi de 5 fatete. Suma unghiurilor plane la vârf este de 300 °.

Zona de polyhedra obișnuită

Suprafața acestor corpuri geometrice (S) este calculată ca suprafața unui poligon obișnuit înmulțită cu numărul de fețe (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg pi- / p.

Volumul unui polyhedron obișnuit

Această valoare se calculează prin înmulțirea volumului piramidei obișnuite, la baza căruia este poligonul obișnuit, pe numărul de fețe, iar înălțimea sa este raza sferei înscrise (r):

• V = 1: 3rS.

Volumele de polyhedra obișnuite

Ca orice alt corp geometric, policedele obișnuite au volume diferite. Mai jos sunt formulele prin care pot fi calculate:

• tetraedru: alfa-3radic-2: 12;
• octaedru: alfa-3radic-2: 3;
• ikosaedr- alfa-x3;
• hexaedru (cub): 5 x alfa-x 3 x (3 + radic-5): 12;
• dodecaedru: alfa-x 3 (15 + 7radic-5): 4.

Elemente de polyhedra obișnuite

Hexaedrul și octaedrul sunt corpuri geometrice duale. Cu alte cuvinte, ele pot fi obținute una de cealaltă, în cazul în care centrul de greutate al feței unuia este luat drept vârful celuilalt și invers. De asemenea, icosaedronul și dodecaedrul sunt duale. Doar un tetraedru este dual pentru el însuși. Prin metoda Euclid, se poate obține un dodecaedru dintr-un hexaedru prin construirea de "acoperișuri" pe fețele cubului. Vârfurile tetraedrului sunt orice 4 vârfuri ale cubului care nu sunt adiacente în perechi de-a lungul marginii. Dintr-un hexaedru (cub) este posibil să se obțină și alte polyhedra obișnuite. În ciuda faptului că poligoane regulate există nenumărate, există doar 5 regulat polyhedra.

Radii de poligoane regulate

Cu fiecare dintre aceste corpuri geometrice sunt conectate 3 sfere concentrice:

• descris, trecând prin vârfurile sale;
• Este înscrisă, atingându-și fiecare fețele în centrul ei;
• Mijloc, atingând toate coastele în mijloc.

Raza sferei descrise se calculează după următoarea formulă:

• R = a: 2 x tg pi- / g x tg teta: 2.

Raza sferei înscrise se calculează după formula:

• R = a: 2 x ctg pi- / px tg teta: 2,

unde theta este un colț cu două laturi care se află între fețele adiacente.

Raza sferei mijlocului poate fi calculată prin următoarea formulă:

• rho- = cos cos pi- / p: 2 sin pi- / h,

unde h este o valoare de 4,6, 6,10 sau 10. Raportul dintre razele descrise și inscripționate este simetric față de p și q. Se calculează după formula:

• R / r = tg pi- / px tg pi- / q.

Simetria polyhedra

Simetria polyhedra obișnuită provoacă interesul principal pentru aceste corpuri geometrice. Se înțelege o astfel de mișcare a corpului în spațiu, care lasă același număr de vârfuri, fețe și muchii. Cu alte cuvinte, sub acțiunea transformării de simetrie, marginea, vârful sau fața fie își păstrează poziția inițială, fie se mișcă în poziția inițială a unei alte margini, a unui alt vârf sau a unei fețe.

Elementele de simetrie ale polyhedra obișnuite sunt specifice tuturor tipurilor de astfel de corpuri geometrice. Aici vorbim despre transformarea identității, care lasă oricare dintre punctele din poziția inițială. Astfel, atunci când rotiți o prismă poligonală, se pot obține mai multe simetrii. Oricare dintre ele poate fi reprezentat ca produs al reflecțiilor. Simetria, care este produsul unui număr par de reflecții, este numită linie. Dacă este produsul unui număr impar de reflecții, atunci se numește invers. Astfel, toate rotațiile în jurul unei linii drepte reprezintă o simetrie directă. Orice reflexie a unui poliedru este o simetrie inversă.

Pentru a înțelege mai bine elementele de simetrie ale polyhedra obișnuite, putem lua un exemplu de tetraedru. Orice linie dreaptă care trece printr-unul dintre vârfuri și centrul acestui figură geometrică, va trece prin centrul feței opuse. Fiecare dintre răsucirile la 120 și 240 ° în jurul liniei aparține numărului de simetrii multiple din tetraedru. Deoarece are 4 vârfuri și fețe, există doar opt simetrii directe. Oricare dintre liniile drepte care trec prin mijlocul coastei și centrul acestui corp trece prin mijlocul marginii sale opuse. Orice rotire de 180 °, denumită jumătate de întoarcere, în jurul liniei este simetrie. Deoarece un tetraedru are trei perechi de muchii, atunci există trei simetrii directe. Plecând de la cele de mai sus, putem concluziona că numărul total de simetrii directe, inclusiv transformarea identică, va ajunge la doisprezece. Nu există alte simetrii directe pentru tetraedru, dar are 12 simetrii inverse. În consecință, tetraedrul este caracterizat de doar 24 de simetrii. Pentru claritate, puteți construi un model de tetraedru obișnuit din carton și asigurați-vă că acest corp geometric are într-adevăr numai 24 de simetrii.

Dodecaedrul și icosaedronul sunt organismele cele mai apropiate de sferă. Icosaedrul are cel mai mare număr de fețe, cel mai mare unghi dihedral, și cel mai apropiat poate fi la sfera înscrisă. Dodecaedrul are cel mai mic defect unghiular, cel mai mare unghi solid la vârf. El poate să-și umple cât mai mult posibil domeniul de aplicare descris.

Implementarea polyhedra

Poliedronele corecte ale maturării, pe care le-am lipit împreună în copilărie, au multe concepte. Dacă există un set de poligoane, fiecare parte a cărora este identificată numai cu o singură latură a polyedrului, atunci identificarea laturilor trebuie să corespundă celor două condiții:

• din fiecare poligon este posibil să treacă prin poligoane având partea identificată;
• părțile identificabile trebuie să aibă aceeași lungime.

Este colecția de poligoane care satisface aceste condiții care se numește desfășurarea unui polyhedron. Fiecare dintre aceste organisme are mai multe dintre ele. De exemplu, cubul are 11 bucăți.