Ce este un pătrat? Cum să găsiți nodurile, secțiunea, planul, ecuația, volumul, suprafața de bază și unghiul pătratului?

Răspunsurile la întrebarea despre ce este un pătrat, pot fi foarte multe. Totul depinde de cine ați adresat această întrebare. Muzicianul va spune că pătratul este de 4, 8, 16, 32 de baruri sau improvizație de jazz. Un copil este un joc cu o minge sau o revistă pentru copii. Imprimanta vă va trimite să studiați cuțitele stilului, iar tehnicianul - o varietate de profiluri de rulare metalice.

Multe alte semnificații ale acestui cuvânt, dar astăzi vom pune o întrebare la matematică. Deci ...

Vom rezolva treptat această figură, de la simplu la complex și vom începe cu istoria pieței. Cum sa întâmplat, cum au perceput oamenii, oamenii de știință din diferite țări și civilizații?

Istoria studiului pieței

Lumea antică percepe piața, în principal ca cele patru laturi ale lumii. În general, în ciuda multor quadrangles, pătratul are numărul principal - patru. Pentru asirieni și perueni, piața este întreaga lume, adică reprezintă cele patru direcții principale, direcțiile lumii.

Chiar și universul a fost reprezentat ca un pătrat, de asemenea împărțit în patru părți - aceasta este viziunea locuitorilor din America de Nord. Pentru celți, universul este la fel de mult ca trei pătrate îmbinate unul în altul, și patru (!) Rivers curg din centru. Iar egiptenii au înălțat, în general, această cifră!

Pentru prima dată, pătratul a fost descris folosind formulele matematice ale grecilor. Dar pentru ei acest poligon a avut doar caracteristici negative. În general, în Pythagoras nu i-au plăcut numerele, observând în ele slăbiciune și feminitate.

Chiar și în religii există un pătrat. În Islam, Kaaba - ombilicul Pământului - nu are o formă sferică, ci o formă cubică.

În India, grafulul principal reprezentând Pământul sau simbolul pământului era un pătrat încrucișat. Din nou, vorbim despre cele patru părți ale lumii, cele patru regiuni ale pământului.

În China, piața este pace, armonie și ordine. Haosul este învins de construirea unui Vary pătrat. Și pătratul înscris în cerc este baza viziunii lumii, simbolizând unitatea și conexiunea dintre Cosmos și Pământ.

Rusia păgână - piața Svarog. Acest simbol este numit și Steaua lui Svarog sau Steaua Rusiei. Este destul de complexă, deoarece este alcătuită din linii intersectate și închise. Svarog - zeul fierar, cel mai important creator, creator și cerul însuși în reprezentarea lui Rusich. În acest simbol există un romb, care vorbește din nou despre Pământ și cele patru direcții ale acestuia. Și o stea cu patru raze - 4 laturi ale lumii, 4 chipuri ale lui Svarog - omnisciența lui. Iar intersecția dintre raze este focalizarea.

Interesant despre pătrat

Cea mai populară frază care ne vine în minte despre personajul nostru principal este "Piața Neagră".

Pictura de Malevich este încă foarte populară. Autorul însuși, după creația sa, a fost mult timp chinuit de întrebarea despre ce este și de ce un simplu pătrat negru pe un fundal alb atrage atenția asupra lui însuși.

Dar dacă vă uitați atent, veți observa că planul pătratului nu este neted, iar în crăpăturile vopselei negre există multe nuanțe multicolore. Aparent, la început a existat o anumită compoziție pe care autorul nu o plăcea și la închis din ochii noștri cu această figură. Pătrat negru, ca nimic - o gaură neagră, doar o formă pătratică magică. Și goliciunea, după cum știți, atrage ...

Încă foarte populare sunt "pătratele magice". De fapt, acesta este un tabel, desigur, pătrat, umplut cu numere în fiecare coloană. Suma acestor numere este aceeași în toate rândurile, coloanele și diagonalele (separat). Dacă diagonalele sunt excluse din egalitate, atunci pătratul este semi-magic.

Albrecht Durer în 1514 a creat o imagine a "Melancoliei I", care a reprezentat un pătrat magic 4x4. În ea, suma numerelor tuturor coloanelor, rândurilor, diagonalelor și chiar pătratelor interioare este treizeci și patru.

Pe baza acestor tabele au apărut puzzle-uri foarte interesante și populare - "Sudoku".

Egiptenii au fost primii care au realizat linii de interdependență între numere (data nașterii) și calități de caracter, abilități și talente ale unei persoane. Pitagora a luat această cunoaștere, a revizuit-o de mai multe ori și a plasat-o în mod corespunzător. Sa dovedit Piața lui Pitagora.

Aceasta este deja o direcție separată în numerologie. De la data nașterii unei persoane, prin adăugare, se calculează patru numere de bază, care sunt plasate în psychomatrix (pătrat). Asadar, puneti pe rafturi toate informatiile secrete despre energia, sanatatea, talentul, norocul, temperamentul si alte lucruri. În medie, potrivit sondajelor, fiabilitatea este de 60% -80%.

Ce este un pătrat?

Un pătrat este o figură geometrică. Forma pătratului este un patrulater care are laturi și unghiuri egale. Mai precis, acest quadrangle este numit corect.

Pătratul are semne proprii. Acestea sunt:

• laturi egale în lungime;
• Unghiurile egale sunt drepte (90 de grade).

Datorită acestor caracteristici și caracteristici, un cerc poate fi înscris într-un pătrat și este descris în jurul acestuia. Cercul circumscris va atinge toate vârfurile sale, înscrise - mijlocul tuturor laturilor sale. Centrul lor va coincide cu centrul pătratului și va împărți toate jumătățile diagonale. Acestea din urmă, la rândul lor, sunt egale unul cu celălalt și împart colțurile pătratului în părți egale.

O diagonală împarte pătratul în două triunghi izoscele, ambele - patru.

Astfel, dacă lungimea laterală a pătratului este t, raza cercului circumscris este R, iar lungimea înscrisă este r, apoi

• aria bazei pătratului sau aria pătratului (S) va fi S = t²= 2R²= 4r²;
• perimetrul pătratului P ar trebui să fie calculat prin formula P = 4t = 4radic-2R = 8r;
• lungimea razei cercului circumscris R = (radic-2/2) t;
• inscripționat - r = t / 2.

Aria bazei pătratului poate fi calculată, cunoscându-i partea (a) sau lungimea diagonalei (c), atunci formulele vor arăta astfel: S = a² șiS = 1 / 2c².

Care este piața, am aflat. Să aruncăm o privire mai atentă la detalii, deoarece pătratul figura este cel mai simetric patrulater. Are cinci axele de simetrie, și una (a patra comandă) trece prin centrul și este perpendicular pe planul de pătrat, iar altele patru - axa de simetrie dublă, două dintre ele sunt paralele cu laturile, și mai mult de două trec prin diagonala pătrat.

Modalități de a construi un pătrat

Pe baza definițiilor, se pare că nimic nu este mai ușor decât construirea pieței din dreapta. Acest lucru este adevărat, dar cu condiția să aveți toate instrumentele de măsurare. Și dacă ceva nu este disponibil?

Să ne uităm la modalitățile existente care ne vor ajuta să construim această figură.

Măsurarea riglei și a gonului sunt principalele instrumente cu care pătratul poate fi construit cel mai simplu.

Mai întâi, marchează punctul, să zicem A, din care vom construi baza pătratului.

Cu ajutorul riglei, setați distanța egală cu lungimea laturii de la ea spre dreapta, să zicem 30 mm și locul B.

Acum, din ambele puncte, folosind un pătrat, trageți perpendiculare de câte 30 mm fiecare. La capetele perpendiculare stabilite punctele C și D, care sunt conectate între ele, folosind o riglă - toate ABCD pătrat cu latura de 30 mm gata!

Cu un conducător și un proctor este de asemenea destul de ușor de a construi un pătrat. Începeți, ca și în cazul precedent, din punctul, spune H, să amânați un segment orizontal, de exemplu 50 mm. Setați punctul O.

Acum, conectați centrul proiectorului la punctul H, marcați valoarea unghiului 90⁰, prin acesta și punctul H construiește un segment vertical de 50 mm, la capătul său, pune punctul P. Apoi, într-un mod similar, construiește al treilea segment de la punctul O prin colțul 90⁰, egală cu 50 mm, lăsați-o să se termine cu punctul P. Conectați punctele P și P. Aveți un pătrat de NORP cu o lungime laterală de 50 mm.

Puteți construi un pătrat folosind doar busola și rigla. Dacă dimensiunea pătratului este importantă pentru dvs. și lungimea laturii este cunoscută, veți avea nevoie, de asemenea, de un calculator.

Deci, puneți primul punct E - va fi de la vârfurile pieței. Apoi, specificați locația unde se află vârful G opus, adică păstrați diagonala Ariciului figurinei. Dacă construiți un pătrat în dimensiune, având o lungime laterală, calculați lungimea diagonalei conform formulei:

d = radic-2 * a, unde a este lungimea laturii.

După ce aflați lungimea diagonalei, trageți o secțiune a EH a acestei valori. Din punctul E, trageți un semicerc cu ajutorul busolei în direcția punctului Ж. În schimb, din punctul - este un semicerc în direcția punctului Ε cu raza Ε Ε. Prin punctele de intersecție ale acestor semicercuri, folosind un conducător, construiți un segment ZI. HZ și ZI se intersectează într-un unghi drept și sunt diagonale ale pieței viitoare. Prin conectarea punctelor EI, IZH, LZ și ZE folosind rigla, veți obține EIZHZ pătrat inscripționat.

O altă posibilitate este de a construi un pătrat folosind un singur conducător. Ce este un pătrat? Aceasta este o secțiune a planului delimitată de segmente intersectate (linii, raze). În consecință, putem construi un pătrat în raport cu coordonatele vârfurilor sale. În primul rând, trageți axele de coordonate. Părțile laterale ale pătratului se află pe ele sau centrul intersecției diagonalelor va coincide cu punctul de origine - depinde de dorința dvs. sau de condițiile problemei. Poate că figura dvs. va fi distanțată de axe la o anumită distanță. În orice caz, mai întâi marcați două puncte prin valori numerice (arbitrar sau condiționat), atunci veți cunoaște lungimea laturii pătratului. Acum, putem calcula coordonatele celor două vârfuri rămase, amintindu-ne că laturile pătratului sunt egale și paralel unul cu celălalt. Ultimul pas este de a conecta toate punctele în serie unul cu celălalt folosind rigla.

Care sunt patratele?

Un pătrat este o figură bine definită și rigid limitată de definițiile sale, prin urmare tipurile de pătrate nu se disting prin varietate.

Pătrat geometria euclidiană este văzută mai larg - un patrulater cu laturile egale și colțuri, dar gradul unghiurilor nu este specificat. Aceasta înseamnă că unghiurile pot fi 120 de grade (pătrat "convex") și, de exemplu, 72 de grade (pătrat "concav").

Dacă vă întrebați ce este un pătrat, cu un geometru sau cu informatica, vi se va spune că este un grafic complet sau planar (grafice cu K₁ de către K₄). Și este absolut adevărat. Graficul are vârfuri și muchii. Când intră într-o pereche ordonată, se formează un grafic. Numărul de vârfuri este ordinea graficului, numărul margini este dimensiunea acestuia. Astfel, un pătrat este un grafic plan cu patru vârfuri și șase muchii sau K₄: 6.

Partea din pătrat

Una dintre condițiile principale pentru existența unui pătrat - prezența laturilor egale de-a lungul lungimii - face partea foarte importantă pentru diferite calcule. Dar, în același timp, oferă multe modalități de calcul pentru lungimea laturii pătratului, în prezența unor date inițiale foarte diferite.

Deci, cum să găsiți valoarea laturii pătratului?

• Dacă știți numai lungimea diagonală a pătratului d, atunci puteți calcula partea după următoarea formulă: a = d / radic-2.
• Diametrul cercului inscripționat este egal cu partea pătratului și, prin urmare, cu două raze, adică: a = D = 2R.
• Raza cercului poate ajuta, de asemenea, dau seama ce este parte a pieței. Putem raza R învăța diametrul D, care, la rândul său, este egală cu diagonala unui pătrat d, iar formula pentru laturile pătratului prin diagonală știm: a = D / Radic-2 = d / Radic-2 = 2R / Radic-2 .
• Din egalitatea laturilor rezultă că se poate cunoaște partea pătratului (a) cu perimetrul lui P sau suprafața S: a = radic-S = P / 4.
• Dacă știm lungimea liniei care iese din colțul pătratului și traversează mijlocul laturii sale adiacente C, atunci vom putea afla și care este lungimea laturii pătratului: a = 2C / radic-5.

De aceea, există multe modalități de a găsi un astfel de parametru important ca lungimea laturii pătratului.

Volumul unui pătrat

Fraza însăși este absurdă. Ce este un pătrat? Este o figură plană cu doar doi parametri - lungime și lățime. Și volumul? Aceasta este o caracteristică cantitativă a spațiului pe care un obiect îl ocupă, adică se poate calcula numai pentru corpurile tridimensionale.

Un corp tridimensional, cu toate patratele sale, este un cub. În ciuda diferenței colosale și fundamentale, elevii încearcă destul de des să calculeze volumul unui pătrat. Dacă cineva reușește, Premiul Nobel este garantat.

Și pentru a afla volumul unui cub V, este suficient să înmulțiți toate cele trei margini ale lui - a, b, c: V = a * b * c. Și, prin definiție, ele sunt egale, formula poate să arate diferit: V = a³.

Valori, părți și caracteristici

Un pătrat, ca orice poligon, are vârfuri - acestea sunt punctele la care se intersectează laturile sale. Vârfurile pătratului se află pe cercul circumscris. O diagonală trece prin vârful spre centrul pătratului, care este, de asemenea, o bisectrică și raza cercului circumscris.

Din moment ce pătratul este o figură plată, este imposibilă tăierea și construirea secțiunii transversale a pătratului. Dar poate fi rezultatul intersectiei mai multor corpuri de volum cu un avion. De exemplu, un cilindru. Secțiunea axială a cilindrului este un dreptunghi sau un pătrat. Chiar dacă traversați corpul cu un avion la un unghi arbitrar, puteți obține un pătrat!

Dar pătratul are o relație mai mare cu secțiunea, și nu cu oricare, ci cu Secțiunea de Aur.

Știm cu toții că raportul de aur este o proporție în care o valoare se referă la o altă valoare, precum și suma acesteia la o valoare mai mare. În termeni generali procentuali, se pare că: valoarea inițială (suma) este împărțită la 62 și 38 la sută.

Secțiunea de aur este foarte populară. Este folosit în design, arhitectură și oriunde, chiar și în economie. Dar aceasta nu este în niciun caz singura proporție dedusă de Pythagoras. Există, de exemplu, o altă expresie "radic-2". Pe baza ei, sunt construite dreptunghiuri dinamice, care, la rândul lor, sunt fondatorii formatelor A (A6, A5, A4 etc.). De ce a apărut dreptunghiuri dinamice? Deoarece construcția lor începe cu un pătrat.

Da, mai întâi trebuie să construiți un pătrat. Partea sa va fi egală cu partea mai mică a dreptunghiului viitor. Apoi, este necesar să se traseze o diagonală a acestui pătrat și, folosind busola, lungimea acestei diagonale ar trebui amânată pe extensia părții laterale a pătratului. Din punctul obținut la intersecție, construim un dreptunghi, în care din nou construim diagonala și amânăm lungimea ei pe extensia laturii. Dacă continuați să utilizați această schemă, veți obține aceleași dreptunghiuri dinamice.

Raportul dintre latura lungă a primului dreptunghi și cel scurt va fi de 0,7. Aceasta este aproape 0,68 în Secțiunea de Aur.

Unghiurile pătratului

De fapt, ceva proaspăt de spus despre colțuri este deja dificil. Toate proprietățile, ele sunt atributele unui pătrat, pe care l-am enumerat. În ceea ce privește unghiurile, sunt patru (ca în fiecare cvadrangulă), fiecare colț din piață fiind o linie dreaptă, adică are o dimensiune de nouăzeci de grade. Prin definiție, există doar un pătrat dreptunghiular. Dacă unghiurile de dimensiuni mai mari sau mai mici sunt deja o altă figură.

Diagonalele pătratului își împart unghiurile în jumătate, adică sunt bisectori.

Ecuația unui pătrat

Dacă este necesar, pentru a calcula valoarea diferitelor valori ale pătratului (arie, perimetru, lungime laterală sau diagonală) se utilizează ecuații diferite, care derivă din proprietățile pătratului, legile de bază și regulile de geometrie.

1. Ecuația pătrată a unui pătrat

Din ecuațiile pentru calculul suprafeței de patrulare, știm că (zona) este egală cu produsul de lungime și lățime. Și întrucât laturile pătratului au aceeași lungime, suprafața lui va fi egală cu lungimea oricărei laturi ridicate în al doilea grad

S = a².

Folosind teorema Pitagora, putem calcula suprafața unui pătrat, cunoscând lungimea diagonală a acestuia.

S = d²/ 2.

2. Ecuația perimetrului pătratului

Perimetrul pătratului, la fel ca toate quadranglele, este egal cu suma lungimilor laturilor sale și, din moment ce ele sunt la fel, putem spune că perimetrul unui pătrat este egal cu lungimea laturii înmulțită cu patru

P = a + a + a + a = 4a.

Din nou, teorema pitagoreană ne va ajuta să găsim perimetrul prin diagonală. Este necesară multiplicarea lungimii diagonalei cu două rădăcini de două

P = 2radic-2d

3. Ecuația diagonală a pătratului

Diagonalele pătratului sunt egale, se intersectează la un unghi drept și sunt împărțite la jumătatea punctului de intersecție.

Acestea pot fi găsite din ecuațiile de mai sus ale zonei și ale perimetrului pătratului

d = radic-2 * a, d = radic-2S, d = P / 2radic-2

Există, de asemenea, modalități de a ști care este lungimea diagonală a unui pătrat. Raza cercului inscripționat este jumătate din diagonală, de aici

d = radic-2D = 2radic-2R, unde D este diametrul și R este raza cercului inscripționat.

Cunoscând raza cercului circumscris, este chiar mai ușor să se calculeze diagonala, deoarece este diametrul, adică d = D = 2R.

De asemenea, este posibil să se calculeze lungimea diagonalei, cunoscând lungimea liniei care iese din colț până în centrul laturii pătratului C: d = radic-8/5 * C.

Dar nu uitați că un pătrat este o secțiune a unui plan mărginit de patru linii intersectate.

Pentru liniile (și formele formate de ele), există suficiente ecuații care nu necesită o descriere suplimentară, dar linia este infinită. Iar poligoanele sunt marcate de intersecția liniilor. Pentru ei puteți folosi ecuații liniare, Se combină într-un sistem care definește linii drepte. Dar este necesar să specificați parametri și condiții suplimentare.

Cu toate acestea, pentru definirea poligoanelor este necesar să se compună o ecuație care să nu descrie o linie, ci un segment arbitrar separat, fără intervenția unor condiții și descrieri suplimentare.

[x / x_eu ] * [x_eu/ x] * y_eu - aceasta este o ecuație specială pentru poligoane.

Parantezele pătrate din acesta indică condiția pentru excluderea părții fractionale a numărului, adică trebuie să lăsăm doar un număr întreg. y_eu - care este efectuată în intervalul de parametri de la x la x_eu.

Folosind această ecuație, putem deduce noi ecuații pentru calculul segmentelor și liniilor formate din mai multe segmente. Este fundamental, universal pentru poligoane.

Amintiți-vă că pătrat - este o parte a planului, astfel încât descrierea de tip y = f (x) poate fi reprezentat, de cele mai multe ori doar ca o funcție multivalentă, care, la rândul lor, pot fi exprimate în neambiguă dacă le prezintă parametric, care depinde de din orice parametru t:

x = f (t), y = f (t).

Deci, dacă folosim în agregate o ecuație universală și o reprezentare parametrică, atunci este cu adevărat posibil să derivăm o ecuație pentru exprimarea poligoanelor:

x = ((A2 + A3) * A5 + A4 * P) * Cos (L)

y = ((A1 + A4) * A5 + A3 * P) * Sin (L),

unde

A1 = [1 / [T / P]] * [T / P] - A2 = [2 / [T / P] ] * [[T / P] / 3] - A4 = [4 / [T / P]] * [T / P]

unde P este diagonala dreptunghiului, L este unghiul de panta fata de orizontala a diagonalei P, T este parametrul variind de la P la 5P.

Dacă L = 3,14 / 4, atunci ecuația va descrie pătratele diferitelor valori, în funcție de mărimea diagonalei P.

Aplicând un pătrat

În lumea modernă, tehnologia vă permite să dați materialelor diferite o formă pătrată, mai precis o secțiune pătrată.

Acest lucru este mult mai profitabil, mai ieftin, mai durabil și mai sigur. Deci, acum faci tevi patrate, grămezi, fire (fire) și chiar filamente pătrate.

Principalele avantaje sunt evidente, ele provin din geometrie elementară. Cu aceeași mărime, aria cercului inscripționat este mai mică decât pătratul pătratului în care este înscrisă, prin urmare, debitul unui tub pătrat sau capacitatea energetică a unui fir pătrat va fi mai mare decât pentru analogii rotunzi.

Adesea, materialele din secțiunea pătrată sunt mai estetice și convenabile în utilizare, instalare, fixare.

Când selectați aceste materiale, este important să calculați corect secțiunea transversală a pătratului, astfel încât firul sau conducta să reziste la sarcina necesară. În fiecare caz individual, desigur, nu vor fi necesari parametri precum curentul sau presiunea, dar fără regulile geometrice de bază ale pieței. Deși dimensiunile secțiunilor pătrate nu sunt calculate atât de mult, câte sunt alese din parametrii dat din tabelele stabilite de GOST pentru diferite industrii.