Paradoxul lui Russell: fundal, exemple, formulare

Paradoxul lui Russell reprezintă două antinomii logice interdependente.

Două forme ale Paradoxului lui Russell

Forma cea mai discutată este contradicția în logica seturilor. Unele seturi, se pare, pot fi membri ai lor, și alții nu. Setul de seturi este în sine un set, deci se pare că se referă la el însuși. Nul sau gol, cu toate acestea, nu ar trebui să fie un membru al tău. Prin urmare, mulțimea tuturor seturilor, ca cea zero, nu intră în sine. Paradoxul apare la întrebarea dacă setul este un membru al lui însuși. Acest lucru este posibil dacă și numai dacă nu este așa.

O altă formă de paradox este o contradicție în privința proprietăților. Unele proprietăți par să le aparțină, în timp ce altele nu. Proprietatea de a fi o proprietate în sine este o proprietate, în timp ce proprietatea de a fi o pisică nu este o proprietate a acesteia. Luați în considerare proprietatea de a avea o proprietate care nu se aplică în sine. Este aplicabil pentru sine? Din nou, din orice ipoteză urmează opusul. Paradoxul a fost numit după Bertrand Russell (1872-1970), care la deschis în 1901.

poveste

Descoperirea lui Russell a avut loc în timpul lucrărilor sale despre "Principiile matematicii". Deși a descoperit paradoxul pe cont propriu, există dovezi că alți matematicieni și dezvoltatori ai teoriei seturilor, inclusiv Ernst Zermelo și David Hilbert, știa despre prima versiune a contradicției din fața lui. Russell, totuși, a fost primul care a discutat paradoxul în lucrările sale publicate, mai întâi că a încercat să formuleze soluții și a fost primul care a apreciat pe deplin semnificația sa. Un întreg capitol al "Principiilor" a fost dedicat discuției acestei întrebări, iar apendicele a fost dedicat teoriei tipurilor, pe care Russell a propus-o ca soluție.

Russell a descoperit "paradoxul mincinos", considerând că teorema lui Cantor stabilește că puterea oricărui set este mai mică decât setul subseturilor sale. Cel puțin într-un domeniu ar trebui să existe cât mai multe subseturi ca și elementele în el, dacă pentru fiecare element un subset este un set care conține numai acest element. În plus, Cantor a demonstrat că numărul de elemente nu poate fi egal cu numărul de subseturi. Dacă aceștia aveau același număr, atunci ar fi trebuit să existe o funcție ƒ care să hartă elementele la subseturile lor. În același timp, se poate dovedi că acest lucru este imposibil. Unele elemente pot fi afișate de funcția ƒ pe subseturile care le conțin, în timp ce altele nu pot.

Luați în considerare un subset de elemente care nu aparțin imaginilor lor, în care sunt cartografiate. În sine este un subset al elementelor și, prin urmare, funcția ƒ ar trebui să o mapă la un element din domeniu. Problema este că atunci se pune întrebarea dacă acest element aparține subsetului în care este mapat. Acest lucru este posibil numai dacă nu aparține. Paradoxul lui Russell poate fi privit ca un exemplu al aceleiași linii de raționament, doar simplificat. Care sunt seturile sau subseturile seturilor? Se pare că ar trebui să existe mai multe seturi, deoarece toate subseturile de mulțimi de seturi sunt seturi. Dar dacă teorema Cantor este adevărată, atunci trebuie să existe mai multe subseturi. Russell a considerat cea mai simplă cartografiere a seturilor pe ei înșiși și a aplicat abordarea cantoriană pentru a considera setul tuturor acestor elemente care nu aparțin seturilor în care sunt cartografiate. Harta Russell devine setul tuturor seturilor care nu intră în sine.

Eroare Frege

"Paradoxul unui mincinos" a avut consecințe profunde pentru dezvoltarea istorică a teoriei seturilor. El a arătat că conceptul unui set universal este extrem de problematic. El a pus la îndoială, de asemenea, ideea că pentru fiecare condiție definită sau predicat își poate asuma existența unei multitudini de numai acele lucruri care îndeplinesc această condiție. Opțiunea paradox în ceea ce privește proprietățile - o extensie naturală a seturilor versiune - ridică îndoieli serioase cu privire la dacă este posibil să se argumenteze despre existența obiectivă a unei proprietăți sau o conformitate universală pentru fiecare determinată de condiția sau predicatul.

Curând au fost găsite contradicțiile și problemele din activitatea logicienii, filosofi și matematicieni care au făcut presupuneri similare. In 1902, Russell a constatat că o variantă a paradoxului poate fi exprimat într-un sistem logic, dezvoltat în volumul I al „Fundamentele aritmetică“ Gottlob Frege, una dintre principalele lucrări pe logica târziu XIX - începutul secolului XX. În filosofia lui Frege, setul este înțeles ca "extinderea" sau "gama de semnificații" a conceptului. Conceptele sunt cele mai apropiate corelate cu proprietățile. Se presupune că există pentru fiecare stare dată sau predicat. Astfel, există o noțiune a unui set care nu se încadrează în conceptul său definitoriu. Există, de asemenea, o clasă definită de acest concept și se încadrează în conceptul definitoriu numai dacă nu este.

Russell a scris lui Frege despre această contradicție în iunie 1902. Corespondența a devenit una dintre cele mai interesante și dezbătute în istoria logicii. Frege a recunoscut imediat consecințele catastrofale ale paradoxului. El a remarcat totuși că versiunea contradicției privind proprietățile în filosofia sa a fost rezolvată prin diferențierea nivelelor de concepte.

Conceptul lui Frege a fost înțeles ca o funcție a tranziției de la argumente la valorile adevărului. Conceptele primului nivel acceptă obiecte ca argumente, conceptele de nivelul doi iau aceste funcții ca argumente și așa mai departe. Astfel, conceptul nu poate lua niciodată un argument, iar paradoxul privind proprietățile nu poate fi formulat. Cu toate acestea, seturile, extensiile sau conceptele au fost înțelese de Frege ca aparținând aceluiași tip logic ca toate celelalte obiecte. Apoi, pentru fiecare set se pune întrebarea dacă se încadrează în conceptul care o definește.

Când Frege a primit prima scrisoare a lui Russell, cel de-al doilea volum al "Fundamentelor aritmetice" se încheia deja. El a fost forțat să pregătească rapid o aplicație care să răspundă paradoxului lui Russell. Exemplele lui Frege conțineau o serie de soluții posibile. Dar a ajuns la o concluzie care a slăbit noțiunea de abstractizare a unui set într-un sistem logic.

În original a fost posibil să se ajungă la concluzia că un obiect aparține unui set dacă și numai dacă acesta se încadrează în conceptul care o determină. Într-un sistem revizuit, se poate concluziona numai că un obiect aparține unui set dacă și numai dacă se încadrează în noțiunea de set definitoriu, și nu în setul în cauză. Paradoxul lui Russell nu apare.

Decizia nu a satisfăcut însă pe Frege. Și acesta a fost motivul. Câțiva ani mai târziu, pentru un sistem revizuit, a fost găsită o formă mai complexă de contradicții. Dar chiar și înainte de aceasta sa întâmplat, Frege a abandonat deciziile sale și par să ajungă la concluzia că abordarea sa a fost pur și simplu inaplicabilă și că logica va trebui să facă fără nici un fel de seturi.

Cu toate acestea, au fost propuse alte soluții alternative, relativ mai reușite. Acestea sunt discutate mai jos.

Teoria tipului

Sa observat mai sus că Frege a avut un răspuns adecvat la paradoxuri teoria seturilor în varianta formulată pentru proprietăți. Răspunsul lui Frege a precedat soluția cea mai frecvent discutată a acestei forme de paradox. Se bazează pe faptul că proprietățile intră în diferite tipuri și că tipul de proprietate nu este niciodată același cu elementele la care se referă.

Astfel, nu se pune nici întrebarea dacă proprietatea este aplicabilă în sine. O limbă logică care separă elementele de o astfel de ierarhie folosește teoria tipului. Deși este deja folosit de Frege, a fost explicat pe deplin pe deplin și justificat de Russell în Apendicele la Principii. Teoria tipurilor a fost mai completă decât distincția dintre nivelele Frege. A separat proprietățile nu numai în tipuri logice diferite, ci și în seturi. Teoria tipurilor a rezolvat contradicția în paradoxul lui Russell după cum urmează.

Pentru a fi adecvat filosofic, acceptarea teoriei de tip pentru proprietăți necesită dezvoltarea unei teorii despre natura proprietăților în așa fel încât să se poată explica de ce nu pot fi aplicate pentru ele însele. La prima vedere, este logic să vă predați propria proprietate. Proprietatea de a fi identic, pare să fie, de asemenea, identică. Proprietatea de a fi plăcută pare plăcută. În mod similar, aparent, pare fals să spunem că proprietatea de a fi o pisică este o pisică.

Cu toate acestea, diverși gânditori au justificat divizarea tipurilor în moduri diferite. Russell a dat chiar și explicații diferite la diferite momente din cariera sa. La rândul său, fundamentarea divizării lui Frege a diferitelor nivele de concepte decurge din teoria sa de nesaturare a conceptelor. Conceptele, ca și funcții, sunt în esență incomplete. Pentru a oferi o valoare, ei au nevoie de un argument. Nu putem pur și simplu să predicăm un concept printr-un concept de același tip, deoarece încă mai are nevoie de argumentul său. De exemplu, deși este posibil să extrageți rădăcina pătrată din rădăcina pătrată a unui anumit număr, nu este posibil să aplicați pur și simplu funcția rădăcină pătrată la funcția rădăcină pătrată și să obțineți rezultatul.

Cu privire la conservatorismul proprietăților

O altă posibilă soluție la paradoxul proprietății este negarea existenței unei proprietăți în conformitate cu orice condiții date sau un predicat bine format. Desigur, dacă cineva evită proprietățile metafizice ca elemente obiective și independente în general, atunci dacă acceptăm nominalismul, paradoxul poate fi complet evitat.

Cu toate acestea, pentru a rezolva antinomia, nu trebuie să fii atât de extremă. Logic sisteme de ordin superior dezvoltat Frege și Russell, conține ceea ce se numește un principiu conceptual, potrivit căruia fiecare formule deschise, indiferent de cât de complex există ca parte a unei proprietăți sau a unui concept de exemplu, numai acele elemente care se potrivesc cu formula. Acestea au fost aplicate atributelor oricărui set posibil de condiții sau predicate, indiferent cât de complexe erau acestea.

Cu toate acestea, a fost posibil să ia un proprietăți mai riguroase metafizică, dând dreptul la existența obiectivă a proprietăților simple incluzând, de exemplu, cum ar fi culoarea roșie, fermitate, bunătate și așa mai departe. D. Puteți lăsa chiar și aceste proprietăți se aplică ele însele, cum ar fi bunătate poate fii bun.

Și același statut de atribute complexe poate fi negată, de exemplu, astfel de „proprietăți“ ca având șaptesprezece capete, fie scrise sub apă și altele asemenea. D. în acest caz, nici o condiție predeterminată nu îndeplinește proprietatea, înțeleasă ca mod separat Un element existent care are propria sa proprietate. Astfel, se poate nega existența unor proprietăți simple, fie-proprietate care-non-aplicat la sine și să evite paradoxul prin aplicarea proprietăților metafizice mai conservatoare.

Paradoxul lui Russell: soluția

Sa remarcat mai sus că, la sfârșitul vieții, Frege a abandonat complet logica seturilor. Aceasta, desigur, este o soluție de antinomie sub formă de seturi: o simplă negare a existenței unor astfel de elemente ca un întreg. În plus, există alte soluții populare, ale căror principale detalii sunt prezentate mai jos.

Teoria tipurilor pentru seturi

După cum am menționat mai devreme, Russell a susținut o teorie mai completă a tipurilor care ar separa nu numai proprietățile sau conceptele în diferite tipuri, ci și seturi. Russell a împărțit seturile în seturi de obiecte individuale, seturi de mulțimi de obiecte individuale etc. Seturile nu au fost considerate obiecte, iar seturi de seturi au fost seturi. Setul nu a avut niciodată un tip care să permită ca el să fie membru. Prin urmare, nu există seturi de seturi care nu sunt termeni corespunzători, deoarece pentru orice set, întrebarea dacă este membru este în sine o încălcare de tip. Din nou, problema aici este de a clarifica metafizica seturilor pentru a explica bazele filosofice ale împărțirii în tipuri.

stratificare

În 1937, VV Quine a propus o soluție alternativă, într-un fel similară teoriei tipurilor. Informațiile de bază despre el sunt următoarele.

Separarea printr-un element, seturi etc. se face astfel încât presupunerea de a găsi setul în sine este întotdeauna greșită sau lipsită de sens. Seturile pot exista numai cu condiția ca condițiile care le definesc să nu fie o încălcare a tipurilor. Astfel, pentru Quine, expresia "x nu este un membru al lui x" este o afirmație importantă, care nu sugerează existența setului tuturor elementelor x care satisfac această condiție.

În acest sistem există un set pentru o formulă deschisă A dacă și numai dacă este stratificat, t. E. În cazul în care variabilele sunt atribuite numere naturale, astfel încât, pentru fiecare apariție caracteristică a unei multitudini de precedarea variabilă este atribuită unității de atribuire mai mică decât variabila, după aceea. Acest lucru blochează paradoxul lui Russell, deoarece formula folosită pentru a determina setul de probleme are aceeași variabilă înainte și după semnul de membru, ceea ce îl face să nu fie suprimată.

Totuși, rămâne să se determine dacă sistemul rezultant, pe care Quine la numit "Noile fundamentări ale logicii matematice", este consecvent.

respingere

O abordare complet diferită a fost adoptată în teoria seturilor Zermelo-Fraenkel (ZF). Și aici se stabilește o restricție privind existența seturilor. In schimb, se apropie de „top-down“ de Russell și Frege, care a crezut inițial că pentru toate concepte, proprietăți, sau condiții pot sugera existența setului tuturor lucrurilor cu această proprietate sau pentru a îndeplini o astfel de condiție, în ZF-teorie, totul porneste „de jos în sus.“

Elementele individuale și setul gol formează un set. Prin urmare, spre deosebire de sistemele timpurii ale lui Russell și Frege, FT nu aparține setului universal, care include toate elementele și chiar toate seturile. FT stabilește restricții rigide privind existența seturilor. Nu pot exista decât acelea pentru care este explicit postulat sau care poate fi compilat folosind procese iterative și așa mai departe.

Apoi, în locul conceptului de abstractizare set naiv care prevede că un anumit element este inclus în setul, dacă și numai dacă îndeplinește condițiile în principiul de separare utilizat DF, separare sau „sortare“. În loc de a presupunând existența setului tuturor elementelor care sunt, fără excepție, să îndeplinească o anumită condiție, pentru fiecare set existent Aussonderung indică existența unui subset al tuturor elementelor din setul original, care îndeplinește condiția.

Apoi vine principiul abstractizare: dacă mulțimea A există, atunci, pentru orice x în A, x aparține subset A, care îndeplinește condiția dacă și numai dacă x satisface condiția C. Această abordare rezolvă paradoxul Russell, din moment ce nu putem presupune pur si simplu care este setul tuturor seturilor care nu sunt membri ai lor.

Având o mulțime de seturi, puteți selecta sau împărțiți-l în seturi, care sunt în sine, și cei care nu sunt de natură, dar din moment ce nu există nici un set universal, noi nu suntem legați set de toate seturile. Fără presupunerea setului de probleme al lui Russell, o contradicție nu poate fi dovedită.

Alte soluții

În plus, au existat extinderi sau modificări ulterioare ale acestor soluții, cum ar fi o teorie de tip furculiță „Principii de matematică“ expansiune sistem „logică matematică“ Quine, precum și evoluțiile mai recente în teoria seturi, a făcut Bernays, Gödel și von Neumann. Problema dacă se găsește răspunsul la paradoxul greu al lui Bertrand Russell este încă o chestiune de dezbatere.