Matrice Algebra: Exemple și Soluții

Matricele și determinanții au fost descoperite în secolele al XVIII-lea și al XIX-lea. Inițial, dezvoltarea lor a vizat transformarea obiectelor geometrice și soluția sistemelor de ecuații liniare. Din punct de vedere istoric, accentul a fost pus pe factorul determinant. În metodele moderne de prelucrare a algebrei liniare, matricele sunt considerate primele. Merită să ne gândim puțin la această problemă.

Răspunsurile date de acest domeniu al cunoașterii

Matricile oferă o modalitate teoretică și practic utilă de a rezolva multe probleme, cum ar fi:

• sisteme de ecuații liniare;
• echilibrul solidelor (în fizică);
• teoria grafurilor;
• model al economiei lui Leontief;
• forestiere;
• computere grafice și tomografie;
• genetica;
• criptografie;
• rețele electrice;
• fractală.

De fapt, algebra matricei pentru "manechine" are o definiție simplificată. Se exprimă astfel: este un domeniu științific al cunoașterii, în care valorile studiate sunt studiate, analizate și studiate în întregime. În această secțiune de algebră sunt studiate diferite operații pe matricele investigate.

Cum să lucrați cu matrice

Aceste valori sunt considerate egale dacă au aceleași dimensiuni și fiecare element al uneia este egal cu elementul corespunzător celuilalt. Este posibil să se înmulțească matricea cu orice constanță. Aceasta se numește multiplicare scalară. Exemplu: 2 = [1234] = [2sdot-12sdot-32sdot-22sdot-4] = [2468].

Matrice de aceeași mărime pot fi adăugate și scăzute de intrări, iar valorile dimensiunilor compatibile pot fi multiplicate. Exemplu: adăugați două A și B: A = [21minus-10] B = [1423]. Acest lucru este posibil, deoarece A și B - ambele matrici au două rânduri și același număr de coloane. Este necesar să adăugăm fiecare element în A la elementul corespunzător din B: A + B = [2 + 11 + 2minus-1 + 40 + 3] = [3333]. În mod similar, se scade în algebra matriceală.

Înmulțirea matricelor are loc puțin diferit. În plus, cazurile și opțiunile pot fi multe, precum și soluții. Dacă vom multiplica matricea Ap * q și Bm * n, atunci produsul Ap x q + Bm × n = [AB] p × n. Element in-g-lea rând și coloana-h th AB este suma produselor elementelor corespunzătoare în g A și h B. Este posibil să se multiplice două matrice numai dacă numărul de coloane din prima și a doua linii sunt egale. Exemplu: să îndeplinească condiția A la considerat și B: A = [1minus-130] B = [2minus-11214]. Acest lucru este posibil, deoarece prima matrice conține 2 coloane, iar cea de-a doua conține 2 rânduri. AB = [1sdot-2 + 3sdot-minus-1minus-1sdot-2 + 0sdot-minus-11sdot-1 + 3sdot-2minus-1sdot-1 + 0sdot-21sdot-1 + 3sdot-4minus-1sdot-1 + 0sdot-4 ] = [minus-1minus-27minus-113minus-1].

Informații de bază pentru matrice

Aceste valori organizează informații, cum ar fi variabilele și constantele, și le stochează în rânduri și coloane, acestea fiind de obicei numite C. Fiecare poziție din matrice se numește element. Exemplu: C = [1234]. Se compune din două rânduri și două coloane. Elementul 4 este în linia 2 și coloana 2. De obicei se poate numi o matrice după dimensiunile ei, una care cu numele Cm * k are m rânduri și k coloane.

Matrice extinse

Valorile considerate sunt lucruri incredibil de utile care apar în multe domenii diferite. Matricele au fost inițial bazate pe sisteme de ecuații liniare. Având în vedere următoarea structură a inegalităților, este necesar să se țină cont de următoarea matrice complementară aferentă:

2x + 3y - z = 6

-x-y-z = 9

x + y + 6z = 0.

Notați coeficienții și valorile răspunsurilor, inclusiv toate semnele minus. Dacă un element cu un număr negativ va fi egal cu "1". Adică, având în vedere sistemul de ecuații (liniare), este posibil să se asocieze cu el o matrice (o grilă de numere în interiorul parantezelor). Este cea care conține doar coeficienții sistemului liniar. Aceasta se numește o "matrice extinsă". O grilă care conține coeficienții din partea stângă a fiecărei ecuații a fost "suplimentată" cu răspunsuri din partea dreaptă a fiecărei ecuații.

Înregistrările, adică valorile matricei B, corespund valorilor x-, y- și z din sistemul original. Dacă este aranjat corect, verificați-l mai întâi. Uneori este necesar să rearanjăm termenii sau să inserăm zerouri ca substituenți în matricea studiată sau explorată.

Având în vedere următorul sistem de ecuații, putem scrie imediat matricea complementară asociată:

x + y = 0

y + z = 3

z - x = 2.

În primul rând, trebuie să rearanjați sistemul ca:

x + y = 0

y + z = 3

-x + z = 2.

Apoi, există posibilitatea de a scrie matricea legată ca: [11000113-1012]. Atunci când se formează o extensie, ar trebui să folosiți zero pentru orice înregistrare, unde locul corespunzător din sistemul de ecuații liniare este gol.

Matrice Algebra: Proprietăți ale operațiilor

Dacă este necesar să se formeze elemente numai din valorile coeficienților, atunci valoarea considerată va arăta astfel: [110011-101]. Aceasta se numește "matricea coeficienților".

Având în vedere următoarea algebră extinsă a matricelor, este necesară îmbunătățirea și completarea sistemului linear asociat. În același timp, este important să rețineți că pentru ei este necesar ca variabilele să fie aliniate bine și cu precizie. De obicei, când există trei variabile, utilizați x, y și z în această ordine. Prin urmare, sistemul liniar asociat trebuie să fie:

x + 3y = 4

2y-z = 5

3x + z = -2.

Dimensiunea matricii

Elementele luate în considerare sunt deseori menționate de indicatorii lor. Dimensiunea matricii în algebra este dată sub forma unei măsurători, deoarece camera poate fi numită diferit. Valorile măsurate ale valorilor sunt rânduri și coloane, nu lățime și lungime. De exemplu, matricea A:

[1234]

[2345]

[3456].

Deoarece A are trei rânduri și patru coloane, dimensiunea lui A este de 3 × 4.

→

↓

Liniile merg în lateral. Coloanele merg în sus și în jos. "String" și "coloana" sunt condiții tehnice și nu sunt interschimbabile. Dimensiunile matricei sunt întotdeauna specificate cu numărul de rânduri și apoi cu numărul de coloane. În urma acestui acord, următoarele B:

[123]

[234] este 2 × 3. Dacă matricea are același număr de rânduri ca și coloanele, atunci se numește "pătrat". De exemplu, valorile coeficienților de mai sus:

[110]

[011]

[-101] este o matrice pătrată de 3 × 3.

Desemnarea și formatarea matricelor

Notă privind formatarea: de exemplu, când este necesar să se scrie o matrice, este important să se utilizeze parantezele []. Barele cu valoare absolută || nu sunt folosite, deoarece în acest context au o direcție diferită. În nici un caz nu sunt utilizate paranteze rotunde sau crețuri {}. Sau alt simbol al grupării sau deloc, deoarece aceste prezentări nu contează. În algebră, matricea este întotdeauna înăuntru paranteze pătrate. Este necesar să se utilizeze doar notația corectă, sau răspunsurile primite pot fi considerate denaturate.

Așa cum am menționat mai devreme, valorile conținute în matrice se numesc înregistrări. Din anumite motive, elementele în cauză sunt de obicei scrise cu majuscule, cum ar fi A sau B, iar intrările sunt indicate folosind literele mici, dar cu indicii. În matricea A, valorile sunt denumite de obicei "ai, j", unde i este șirul A, iar j este coloana A. De exemplu, a3,2 = 8. Recordul a1,3 este de 3.

Pentru matricile mai mici, cele cu mai puțin de zece rânduri și coloane, virgula din indicele inferior este uneori omisă. De exemplu, "a1,3 = 3" poate fi scris ca "a13 = 3". Evident, acest lucru nu va funcționa pentru matrici mari, deoarece a213 va fi neclar.

Tipuri de matrice

Uneori clasificate în funcție de configurațiile înregistrărilor lor. De exemplu, o astfel de matrice, care are toate intrările zero sub diagonală de la partea stângă sus-dreapta-jos "diagonală", se numește matricea superioară triunghiulară. Printre altele, pot exista și alte tipuri și tipuri, dar acestea nu sunt foarte utile. De regulă, ele sunt în general percepute ca triunghiular superior. Valorile cu exponenți nenuloni numai orizontal se numesc diagonali. Astfel de tipuri au intrări nonzero în care toate 1, astfel de răspunsuri sunt numite identice (din motive care vor deveni clare atunci când sunt învățate și vor înțelege cum se vor înmulți valorile considerate). Există mulți indicatori de cercetare similare. Identitatea 3 × 3 este notată cu I3. În mod similar, identitatea lui 4 × 4 este egală cu I4.

Algebra matricelor și spațiilor liniare

Trebuie remarcat faptul că matricele triunghiulare sunt pătrate. Dar diagonalele sunt triunghiulare. Având în vedere acest lucru, ele sunt pătrate. Iar identitățile sunt considerate diagonale și, în consecință, triunghiulare și pătrate. Când doriți să descrieți o matrice, de obicei, specificați pur și simplu clasificarea dvs. cea mai specifică, deoarece aceasta implică toate celelalte. Clasificați următoarele opțiuni de cercetare: [[9 10 11 12] [5 6 7 8] [1 2 3 4]] poate fi de 3 × 4. În acest caz, acestea nu sunt pătrate. Prin urmare, valorile nu pot fi alte. Următoarea clasificare: [[9 0 4] [3 -2 3] [1 6 7]] poate fi la fel de 3 × 3. Dar este considerată pătrați și nu există nimic special în acest sens. Clasificarea următoarelor date: [[0 8 -4] [1 0 2] [0 0 5]], ca 3 × 3 triunghiular superior, dar nu este diagonală. Este adevărat, în valorile luate în considerare, pot exista zerouri suplimentare pe și peste spațiul specificat și specificat. Clasificarea investigată este în plus: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]], unde este reprezentată ca diagonală și, în plus, înregistrările sunt toate 1. Apoi, această identitate este 3 × 3, I3.

Întrucât matricile similare sunt, prin definiție, pătrat, trebuie doar să folosiți un index pentru a găsi dimensiunile acestora. Pentru ca două matrice să fie egale, ele trebuie să fie de același parametru și să aibă aceleași înregistrări în aceleași locuri. De exemplu, să presupunem că există două elemente luate în considerare: A = [[1 3 0] [-2 0 0]] și B = [[1 3] [-2 0]]. Aceste valori nu pot fi aceleași, deoarece au dimensiuni diferite.

Chiar dacă A și B sunt: ​​A = [[3 6] [2 5] [1 4]] și B = [[1 2 3] [4 5 6]] - acestea nu sunt la fel. A și B au șase intrări și au, de asemenea, aceleași numere, dar acest lucru nu este suficient pentru matrice. A este 3 × 2. A B este o matrice 2 × 3. A pentru 3 × 2 nu este 2 × 3. Nu contează dacă A și B au aceeași cantitate de date sau chiar aceleași numere ca și înregistrările. Dacă A și B nu au aceeași mărime și formă, dar au valori identice în locuri similare, ele nu sunt egale.

Operațiuni similare în zona examinată

Această proprietate a egalității de matrice poate fi transformată în sarcini de cercetare independentă. De exemplu, sunt date două matrice și se indică faptul că ele sunt egale. În acest caz, va trebui să utilizați această ecuație pentru a investiga și a obține răspunsuri la valorile variabilelor.

Exemplele și soluțiile matricelor în algebră pot fi diverse, mai ales dacă se referă la egalități. Având în vedere că sunt luate în considerare următoarele matrici, este necesar să se găsească valorile lui x și y. Pentru ca A și B să fie egale, ele trebuie să aibă aceeași dimensiune și formă. De fapt, ele sunt așa, deoarece fiecare dintre ele este de 2 × 2 matrice. Și ar trebui să aibă aceleași valori în aceleași locuri. Atunci a1,1 ar trebui să fie B1,1, a1,2 ar trebui să fie b1,2 și așa. D. Intrările a1,2 și a2,1 în mod clar sunt, respectiv, elementele și b2,1 b1,2 (prin verificarea, care este pur și simplu în căutarea le). Dar, a1,1 = 1, evident, nu este egal cu b1,1 = x. Pentru A, identic cu B, intrarea trebuie să aibă a1,1 = b1,1, deci poate fi egală cu 1 = x. În mod similar, indicii a2,2 = b2,2, prin urmare 4 = y. Apoi soluția: x = 1, y = 4. Având în vedere că matricele sunt egale, este necesar să se găsească valorile lui x, y și z. Pentru a avea A = B, coeficienții trebuie să aibă toate înregistrările egale. Aceasta este, a1,1 = b1,1, a1,2 = b1,2, a2,1 = b2,1 și așa mai departe. În special, ar trebui:

4 = x

-2 = y + 4

3 = z / 3.

După cum se poate observa din matricile selectate: cu elemente de 1,1, 2,2 și 3,1. Rezolvând aceste trei ecuații, primim răspunsul: x = 4, y = -6 și z = 9. Algebra matricelor și operațiunile pe matrice diferă de ceea ce este obișnuit cu toții, dar nu se înmulțește.

Informații suplimentare în acest domeniu

Algebra liniară a unei matrice este studiul unor astfel de seturi de ecuații și proprietățile lor de transformare. Această arie de cunoștințe vă permite să analizați rotația în spațiu, să aproximați cele mai mici pătrate, să rezolvați ecuații diferențiale, să determinați un cerc care trece prin trei puncte date și să rezolvați multe alte întrebări legate de matematică, fizică și tehnologie. Algebra liniară a matricei nu este de fapt semnificația tehnică a cuvântului folosit, adică spațiul vectorial v peste câmpul f și așa mai departe.

Matricea și determinantul sunt instrumente extrem de utile de algebră liniară. Una dintre problemele centrale este soluția ecuației matricei A_x = b, pentru x. Deși acest lucru poate fi rezolvat teoretic folosind inversul x = A^-1 b. Alte metode, cum ar fi eliminarea Gaussiană, sunt numeric mai fiabile.

Pe lângă faptul că este folosit pentru a descrie studiul seturilor liniare de ecuații, termenul de mai sus este utilizat și pentru a descrie un anumit tip de algebră. În particular, L peste un câmp F are o structură inelară cu toate axiomele obișnuite pentru adăugarea și înmulțirea interioară împreună cu legile distributive. De aceea, îi conferă mai multă structură decât inelul. O matrice algebra liniara permite multiplicarea externa prin scalari, care sunt elemente ale câmpului care stau la baza F. De exemplu, mulțimea tuturor transformărilor din spațiul vectorial V peste un câmp F este format peste F. Un alt exemplu de algebra liniară este mulțimea tuturor pătrat reale matrici peste R de numere reale.