Ipoteza lui Riemann. Distribuția primelor

În 1900, unul dintre cei mai mari oameni de știință ai secolului trecut David Gilbert

Singura problemă, care a fost printre cele două liste de puzzle-uri, timp de secole nu a dat odihnă oamenilor de știință, a devenit ipoteza Riemann. Ea încă așteaptă decizia ei.

Scurtă notă biografică

Georg Friedrich Bernhard Riemann sa născut în 1826 la Hanovra, în familia mare a unui pastor sărac și a trăit doar 39 de ani. A reușit să publice 10 lucrări. Cu toate acestea, în timpul vieții sale, Riemann a fost considerat succesorul profesorului său Johannes Gauss. La vârsta de 25 de ani, tânărul om de știință a apărat teza "Bazele teoriei funcțiilor unei variabile complexe". Mai târziu și-a formulat ipoteza, care a devenit faimoasă.

Prime numere

Matematica a apărut atunci când o persoană a învățat să conteze. În același timp, au apărut primele idei despre numere, pe care mai târziu au fost încercate să le clasifice. Sa observat că unele dintre ele au proprietăți comune. În special, printre numerele naturale m. E. Aceste care au fost utilizate în calcul (numerotarea) sau desemnat numărul de articole a fost alocat un grup de astfel de care sunt împărțite numai câte unul și ei înșiși. Ele erau numite simple. O dovadă elegantă a teoriei infinitului setului de astfel de numere a fost dată de Euclid în "Elementele" sale. În prezent, căutarea lor continuă. În special, cea mai mare dintre cele deja cunoscute este numărul 2^{74 207 281} - 1.

Formula lui Euler

Împreună cu conceptul de infinit al mulțimii primelor, Euclid a definit de asemenea a doua teoremă cu privire la singura factorizare primă posibilă. Potrivit acestuia, orice număr întreg pozitiv este produsul unui singur set de prime. În 1737 marele matematician german Leonard Euler a exprimat prima teoremă a lui Euclid despre infinit, sub forma formulării prezentate mai jos.

Se numește funcția zeta, unde s este o constantă și p ia toate valorile simple. Afirmația Euclid despre unicitatea descompunerii rezultă direct din ea.

Funcția zeta Riemann

Formula lui Euler privind examinarea mai detaliată este destul de surprinzătoare, deoarece stabilește raportul dintre numerele simple și întregi. De fapt, pe partea stângă, infinit mai multe expresii se înmulțesc, depinzând doar de cele simple, iar în dreapta există o sumă asociată cu toate numerele întregi pozitive.

Riemann a mers mai departe decât Euler. Pentru a găsi cheia problemei distribuției numerelor, el a propus să se determine formula atât pentru variabilele reale, cât și pentru cele complexe. Mai târziu a fost numită funcția zeta Riemann. În 1859, omul de știință a publicat un articol cu ​​titlul "Cu privire la numărul primelor care nu depășesc o valoare dată", unde a rezumat toate ideile sale.

Riemann a propus utilizarea seriei Euler, convergent pentru orice s s real 1. Dacă aceeași formulă este folosită pentru s complexe, atunci seria converge pentru orice valoare a variabilei cu partea reală este mai mare decât 1. Riemann folosit continuarea analitică a procedurii prin extinderea definiției zeta (e) pentru toate numerele complexe, dar „aruncarea“ unitate. A fost exclusă, deoarece pentru s = 1 funcția zeta crește până la infinit.

Semnificație practică

O întrebare logică apare: ceea ce este interesant și important este funcția zeta, care este esențială în lucrarea lui Riemann privind ipoteza nulă? După cum se știe, în prezent nu există un model simplu care să descrie distribuirea numerelor prime între numerele naturale. Riemann a reușit să descopere că numărul pi (x) al numerelor prime care nu au depășit x este exprimat prin distribuirea zerourilor nettriviale ale funcției zeta. Mai mult decât atât, ipoteza lui Riemann este o condiție necesară pentru a dovedi estimări de timp ale performanței unor algoritmi criptografici.

Ipoteza lui Riemann

Una dintre primele formulări ale acestei probleme matematice, care nu a fost dovedită până în ziua de astăzi, sună astfel: funcțiile non-trivial 0 zeta sunt numere complexe cu partea reală egală cu frac12-. Cu alte cuvinte, ele sunt situate pe linia dreaptă Re s = frac12-.

Există, de asemenea, o ipoteză generalizată Riemann, care este aceeași declarație, dar pentru generalizări de funcții zeta, care sunt numite de obicei funcțiile Dirichlet L (a se vedea fotografia de mai jos).

În formula chi- (n) este un caracter numeric (modulo k).

Declarația Riemannian este considerată așa-numita ipoteză nulă, deoarece a fost verificată pentru consecvență cu datele de probă deja disponibile.

După cum a motivat Riemann

Observația matematicianului german a fost formulată inițial mai degrabă în mod obișnuit. Faptul este că în acel moment omul de știință urma să dovedească teorema privind distribuirea numerelor prime, iar în acest context această ipoteză nu avea o semnificație specială. Cu toate acestea, rolul său în rezolvarea multor alte probleme este enorm. Acesta este motivul pentru care presupunerea lui Riemann în momentul de față de către mulți oameni de știință este recunoscută ca fiind cea mai importantă dintre problemele matematice nedovedite.

După cum sa spus, pentru a demonstra teorema privind distribuția completă ipoteza Riemann nu este necesară, și destul de a dovedi în mod logic că partea reală a oricărei non-triviale de zero a funcției zeta este între 0 și 1. Această proprietate implică faptul că suma tuturor 0-m funcțiile zeta, care apar în formula exactă dată mai sus, este o constantă finită. Pentru valori mari de x, poate fi pierdut cu totul. Singurul membru al formulei care rămâne neschimbat chiar și pentru foarte mare x este x în sine. Restul termenilor complexi în comparație cu acesta dispare asimptotic. Astfel, suma ponderată tinde la x. Acest fapt poate fi considerat ca o dovadă a adevărului număr prim teoremei. Astfel, zerourile zeta-funcției Riemann au un rol special. Aceasta constă în a demonstra că aceste valori nu pot aduce o contribuție semnificativă la formula de extindere.

Urmasii lui Riemann

Moartea tragică din tuberculoză nu a permis acestui om de știință să-și aducă programul la concluzia sa logică. Cu toate acestea, el a fost preluat din batalionul lui Sh. De la Valle Poussin și Jacques Hadamard. Independent unul de altul, au derivat o teoremă privind distribuirea numerelor prime. Hadamard și Poussin au reușit să demonstreze că toate funcțiile zeta non-trivială sunt în banda critică.

Datorită muncii acestor oameni de știință, a apărut o nouă direcție în matematică - teoria numerelor analitice. Mai târziu, alți cercetători au obținut dovezi oarecum mai primitive ale teoremei asupra căreia a lucrat Riemann. În special, Pal Erdez și Atle Selberg au descoperit chiar un lanț logic foarte complex care l-a confirmat, ceea ce nu a necesitat utilizarea unei analize complexe. Cu toate acestea, în acest moment, câteva teoreme importante au fost deja demonstrate prin ideea lui Riemann, inclusiv aproximarea numeroaselor funcții ale teoriei numerelor. În această privință, noua lucrare a lui Erdos și a lui Atle Selberg nu a avut practic niciun efect.

Una dintre cele mai simple și mai frumoase dovezi ale problemei a fost găsită în 1980 de Donald Newman. Ea se baza pe binecunoscuta teoremă a lui Cauchy.

Ipoteza Riemanniană amenință principiile criptografiei moderne?

Criptarea datelor a apărut odată cu apariția hieroglifelor, mai precis ele însele pot fi considerate primele coduri. În prezent există o întreagă linie de criptografie digitală, care se dezvoltă algoritmi de criptare.

Numerele simple și "semisimple", adică cele care se împart doar cu alte 2 numere din aceeași clasă, se află în centrul unui sistem public-cheie cunoscut sub numele de RSA. Are cea mai largă aplicație. În special, se utilizează atunci când se generează o semnătură electronică. Dacă vorbim în termeni accesibili "ceainicilor", ipoteza lui Riemann afirmă existența unui sistem în distribuția numerelor prime. Astfel, stabilitatea cheilor criptografice, pe care depinde securitatea tranzacțiilor online din domeniul comerțului electronic, este semnificativ redusă.

Alte probleme matematice nerezolvate

Pentru a termina articolul merită să fiu dedicat câteva cuvinte altor sarcini ale mileniului. Acestea includ:

• Egalitatea clasei P și NP. Problema este formulată după cum urmează: dacă este verificat un răspuns pozitiv la o anumită întrebare pentru timpul polinomial, este adevărat că răspunsul la această întrebare poate fi găsit rapid?
• Hodge ipoteză. În termeni simpli, se poate afirma, după cum urmează: pentru anumite tipuri de varietati algebrice proiective (spații) cicluri de Hodge sunt combinații de obiecte care au o interpretare geometrică, adică ciclurile algebrice ...
• Provocarea lui Poincare. Aceasta este singura dintre sarcinile milenare care au fost dovedite până în prezent. Potrivit acestuia, orice obiect tridimensional care are proprietăți specifice unei sfere tridimensionale trebuie să fie o sferă până la deformare.
• Afirmarea teoriei cuantice Yang-Mills. Este necesar să se demonstreze că teoria cuantică avansată de acești oameni de știință pentru spațiul R ⁴, există și are 0-a defect de masă pentru orice grup compact compact G.
• Conjectura lui Birch-Swinnerton-Dyer. Aceasta este o altă problemă legată de criptografie. Se referă la curbele eliptice.
• Problema existenței și netezimii soluțiilor ecuațiilor Navier-Stokes.

Acum știi ipoteza lui Riemann. Cu cuvinte simple, am formulat și câteva dintre celelalte sarcini ale mileniului. Faptul că ele vor fi rezolvate sau se va dovedi că nu au o soluție este o chestiune de timp. Este puțin probabil ca acest lucru să trebuiască să aștepte prea mult, deoarece matematica utilizează din ce în ce mai mult capacitățile de calcul ale computerelor. Cu toate acestea, nu totul este supus tehnologiei, iar pentru rezolvarea problemelor științifice, intuiția și creativitatea sunt în primul rând necesare.