Suprafetele din ordinul 2: exemple

Cu suprafețe de ordinul doi studentul se găsește cel mai adesea în primul an. Prima sarcină pe acest subiect poate părea simplu, dar, ca studiul matematicii superioare și a aprofunda latura științifică, ne putem opri în cele din urmă să navigați se întâmplă. Pentru acest lucru nu sa întâmplat, este necesar nu doar să memoreze și să înțeleagă cum să obțineți una sau cealaltă suprafață, ca o modificare a factorilor care o afectează și locația sa în raport cu sistemul original de coordonate și modul de a găsi un nou sistem (unul în care centrul său coincide cu începutul coordonate și axa de simetrie

definiție

O suprafață de ordin 2 este numită HMT, ale cărei coordonate satisfac ecuația generală a următoarei forme:

F (x, y, z) = 0.

Este clar că fiecare punct care aparține suprafeței trebuie să aibă trei coordonate în orice bază desemnată. Deși în unele cazuri locusul de puncte poate degenera, de exemplu, într-un avion. Aceasta înseamnă că una dintre coordonate este constantă și egală cu zero în întregul interval de valori admisibile.

Forma integrală pictată a egalității menționate mai sus arată astfel:

A₁₁x²+A₂₂y²+A₃₃z²+2A₁₂xy + 2A₂₃yz + 2A₁₃xz + 2A₁₄x + 2A₂₄y + 2A₃₄z + A₄₄= 0.

A_nm - unele constante, x, y, z - variabile care corespund coordonatelor afine ale unui punct. În același timp, cel puțin una dintre constantele factorilor trebuie să fie nenuloasă, adică nu orice punct va corespunde ecuației.

În marea majoritate a exemplelor, mulți factori numerici sunt încă identici egali cu zero, iar ecuația este mult simplificată. În practică, determinarea apartenenței punctului la suprafață nu este dificilă (este suficient să se substituie coordonatele sale în ecuație și să se verifice dacă identitatea este observată). Punctul cheie al acestei lucrări este reducerea acesteia din urmă la forma canonică.

Ecuația descrisă mai sus definește orice suprafețe de ordin 2 (toate indicate mai jos). Exemplele vor fi luate în considerare în continuare.

Tipuri de suprafețe de comandă 2

Ecuațiile suprafețelor de ordin 2 diferă numai prin valorile coeficienților A_nm. Din punctul de vedere general, pentru anumite valori ale constantelor pot fi obținute diferite suprafețe, clasificate după cum urmează:

1. Cilindri.
2. Tip eliptic.
3. Tipul hiperbolic.
4. Tip conic.
5. Tipul parabolic.
6. Plane.

Fiecare dintre aceste tipuri are o formă naturală și imaginar: sub forma unui locus imaginar al punctelor reale sau degenerează într-o formă simplă, sau inexistentă.

cilindri

Acesta este cel mai simplu tip, deoarece o curbă relativ complexă se află doar în bază, acționând ca un ghid. Liniile de formare sunt drepte, perpendiculare pe planul în care se află baza.

Graficul prezintă un cilindru circular - un caz special al unui cilindru eliptic. Planul XY este o elipsă proiecția sa (în cazul nostru - un cerc), - ghidare și XZ - dreptunghi - ca axa paralelă cu Z. Pentru a se obține din ecuația generală, coeficienții trebuie să aibă următoarele semnificații:

În loc de notele obișnuite X, Yorkshi, Z, se folosesc numerele X cu un număr de ordine - nu contează.

De fapt, 1 / a² iar celelalte constante indicate aici sunt aceiași coeficienți indicați în ecuația generală, dar este obișnuit să le scriem exact în această formă - aceasta este reprezentarea canonică. Apoi se va folosi numai această înregistrare.

Acesta este modul în care este dat un cilindru hiperbolic. Schema este aceeași - ghidul va fi o hiperbolă.

y²= 2px

Un cilindru parabolic este specificat oarecum diferit: forma lui canonică include coeficientul p, numit parametru. De fapt, coeficientul este q = 2p, dar este obișnuit să se împartă cu cei doi factori prezentați.

Există un alt tip de cilindru: imaginar. Un astfel de cilindru nu aparține vreunui punct real. El descrie ecuația unui cilindru eliptic, dar în loc de unul costă -1.

Tip eliptic

Elipsoidul poate fi întins de-a lungul uneia dintre axe (de-a lungul căruia depinde de valorile constantelor a, b, c indicate mai sus, este clar că axa mai mare va corespunde unui coeficient mai mare).

Există, de asemenea, un elipsoid imaginar - cu condiția ca suma coordonatelor înmulțite cu coeficienții să fie -1:

hyperboloids

Atunci când apare un minus într-una din constante, ecuația elipsoidală devine ecuația unui hiperboloid dintr-o foaie. Este necesar să înțelegem că acest minus nu trebuie să fie localizat în fața coordonatei x₃! Acesta determină numai care dintre axe este axa de rotație a hiperboloidului (sau paralel cu acesta, deoarece atunci când apar termeni suplimentari în pătrat (de exemplu, (x-2)²) centrul figurinei este deplasat, ca urmare, suprafața se deplasează paralel cu axele coordonatelor). Acest lucru se aplică tuturor suprafețelor de comandă 2.

În plus, trebuie să înțelegem că ecuațiile prezentate în forma canonică, și ele pot fi modificate prin varierea constantele (păstrând semnul!) - cu punctele lor de vedere (hiperboloid, con, etc.) rămân aceleași.

O astfel de ecuație dă un hyperboloid cu două straturi.

Suprafață conică

În ecuația conului, nu există unitate - egalitate la zero.

Un con este doar o suprafață conică mărginită. Imaginea de mai jos arată că, de fapt, graficul va fi două așa-numite conuri.

O observație importantă: în toate ecuațiile canonice luate în considerare, constantele sunt presupuse a fi pozitive în mod implicit. În caz contrar, semnul poate afecta graficul final.

Planurile de coordonate devin planuri de simetrie a conului, centrul simetriei este situat la origine.

În ecuația conului imaginar, numai plusurile îi aparțin, are un singur punct real.

paraboloizilor

Suprafetele de ordinul doi din spatiu pot lua diferite forme chiar si cu ecuatii similare. De exemplu, paraboloidele sunt de două feluri.

x²/ a²+y²/ b²= 2z

Un paraboloid eliptic, atunci când axa Z este perpendiculară pe desen, va fi proiectată într-o elipsă.

x²/ a²-y²/ b²= 2z

Paraboloidul parabolic: în secțiuni cu planuri paralele cu ZY, parabolele vor fi obținute, iar în secțiunile cu planuri paralele cu hyperbola XY.

Intersectează avioanele

Există cazuri în care suprafețele de ordinul doi degenerează într-un plan. Aceste avioane pot fi aranjate în moduri diferite.

Mai întâi, luați în considerare avioanele intersectate:

x²/ a²-y²/ b²= 0

Cu această modificare ecuațiile canonice sunt obținute doar două planuri care se intersectează (imaginar!) - toate punctele reale situate pe axa coordonatelor este lipsește în ecuația (în canonică - axa Z).

Planuri paralele

y²= a²

În prezența unei singure coordonate, suprafețele celei de-a doua ordine degenerate într-o pereche de planuri paralele. Nu uitați, în locul jocului poate fi orice altă variabilă, atunci vor fi obținute planurile paralele cu celelalte axe.

y²= minus-a²

În acest caz, ele devin imaginare.

Coincide cu avioanele

y²= 0

Cu o ecuație simplă, o pereche de planuri se degenerează într-una - coincid.

Nu uitați că în cazul unei baze tridimensionale, ecuația de mai sus nu specifică o linie dreaptă y = 0! Nu există alte două variabile în ea, dar aceasta înseamnă numai că valoarea lor este constantă și zero.

clădire

Una dintre cele mai dificile sarcini pentru un student este construirea de suprafețe de ordinul doi. Este și mai dificil să se deplaseze de la un sistem de coordonate la altul, ținând cont de pantele curbei față de axe și de deplasarea centrului. Să repetăm ​​cum să determinăm secvențial perspectiva viitoare a desenului într-un mod analitic.

Pentru a construi o suprafață de comandă 2, este necesar:

• reducerea ecuației la forma canonică;
• determinarea tipului de suprafață care trebuie examinată;
• se bazează pe valorile coeficienților.

Mai jos sunt toate tipurile considerate:

Pentru fixare, vom detalia un exemplu de acest tip de sarcină.

exemple

Să presupunem că există o ecuație:

3 (x²-2x + 1) + 6y²+2Z²+60y + 144 = 0

Îl reducem la forma canonică. Eliminăm pătratele complete, adică compunem sumele existente astfel încât acestea sunt descompunerea pătratului sumei sau a diferenței. De exemplu: dacă (a + 1)²= a²+2a + 1, apoi a²+2a + 1 = (a + 1)². Vom efectua a doua operațiune. Parentheses în acest caz nu sunt necesare pentru a dezvălui, deoarece acest lucru va complica doar calculele, dar este necesar un multiplicator comun de 6 (în paranteze cu un pătrat pătrat)

3 (x-1)²+6 (y + 5)²+2Z²= 6

Variabila zet apare în acest caz o singură dată - nu o puteți atinge încă.

Analizăm ecuația în acest stadiu: înainte de toate necunoscute există un semn plus - când este împărțit la șase, există unul. În consecință, avem o ecuație care definește un elipsoid.

Rețineți că 144 a fost descompusă la 150-6, după care -6 a fost mutat spre dreapta. De ce a fost necesar să faceți acest lucru? Este evident că cel mai mare subgrup din acest exemplu, -6, prin urmare, că, după împărțirea sa dreaptă unități rămase trebuie să fie „pus deoparte“ de 144 este 6 (care ar trebui să fie unitatea de drept, spune că prezența unui termen liber - constante, nu multiplicate la necunoscut).

Împărțim cu șase și obținem ecuația canonică a elipsoidului:

(X-1)²/ 2 + (y + 5)²/ 1 + z²/ 3 = 1

În clasificarea suprafețelor de ordin 2 folosite anterior, se consideră un caz special când centrul figurinei este la origine. În acest exemplu, este părtinitoare.

Credem că fiecare categorie cu necunoscute este o nouă variabilă. Aceasta este: a = x-1, b = y + 5, c = z. La noi coordonate, centrul elipsoidului coincide cu punctul (0,0,0), prin urmare, a = b = c = 0, de unde: x = 1, y = -5, z = 0. În coordonatele inițiale, centrul cifrei se află în punctul (1, -5,0).

Elipsoidul va fi obținut din două elipse: primul în planul XY și al doilea în planul XZ (sau YZ - nu contează). Coeficienții la care sunt împărțiți variabilele stau în ecuația canonică din pătrat. Prin urmare, în exemplul de mai sus, ar fi mai corect să se împartă cu o rădăcină de două, una și rădăcina a trei.

Axa mai mică a primei elipse, paralelă cu axa Y, este egală cu două. Axa majoră paralelă cu axa X este cele două rădăcini ale celor două. Axa mai mică a celei de-a doua elipse, paralelă cu axa Y, rămâne aceeași - este egală cu două. Iar axa majoră paralelă cu axa Z este egală cu cele două rădăcini ale celor trei.

Folosind ecuația inițială obținută prin convertirea la forma canonică a datelor, putem trage un elipsoid.

Rezumă

Tema abordată în acest articol este destul de vastă, dar, de fapt, după cum puteți vedea acum, nu este foarte complicată. Stăpânirea lui, de fapt, se termină în momentul în care învățați numele și ecuațiile suprafețelor (și, desigur, cum arată acestea). În exemplul de mai sus, am considerat fiecare pas în detaliu, dar reducerea ecuației la forma canonică necesită cunoștințe minime în matematică superioară și nu ar trebui să provoace nici o dificultate pentru student.

O analiză a graficului viitor pe ecuația existentă este deja o sarcină mai dificilă. Dar pentru soluția sa de succes este suficient să înțelegem cum sunt construite curbele corespunzătoare din a doua ordine - elipse, parabole și altele.

Cazurile de degenerare sunt o secțiune mai simplă. Din cauza absenței anumitor variabile, nu sunt doar simplificate calculele, așa cum s-a menționat deja mai sus, ci și construcția însăși.

Odată ce puteți numi în mod confidențial toate tipurile de suprafețe, puteți varia constantele, transformând graficul într-o altă figură - tema va fi stăpânită.

Succesul în învățare!