Georg Kantor: Teoria seturilor, biografia și matematica familiei

Georg Cantor (foto prezinta mai tarziu in articol) - matematician german, care a dezvoltat teoria mulțimilor și a introdus conceptul de numere transfinite, infinit de mari, dar diferite unul de altul. De asemenea, el a dat o definiție a numerelor ordinale și cardinale și și-a creat aritmetica.

George Cantor: scurtă biografie

Sa născut la Sankt Petersburg pe 03/03/1845. Tatăl său a fost Danezul religiei protestante Georg-Valdemar Kantor, care a fost implicat în comerț, inclusiv pe bursă. Mama sa Maria Boehm a fost catolică și a venit dintr-o familie de muzicieni remarcabili. Când în 1856 tatăl lui Georg sa îmbolnăvit, familia sa mutat la Wiesbaden și apoi la Frankfurt, în căutarea unui climat mai blând. Talentele matematice ale băiatului au apărut înainte de împlinirea vârstei de 15 ani, în timp ce studiau în școli private și gimnazii din Darmstadt și Wiesbaden. În cele din urmă, Georg Kantor ia convins pe tatăl său în intenția sa fermă de a deveni un matematician, nu un inginer.

După un scurt studiu de la Universitatea din Zurich în 1863, Kantor sa transferat la Universitatea din Berlin pentru a studia fizica, filosofia și matematica. Acolo a fost învățat:

• Karl Theodor Weierstrass, a cărui specializare în analiză probabil avea cea mai mare influență asupra lui Georg;
• Ernst Eduard Kummer, care a predat aritmetica superioară;
• Leopold Kronecker, specialist în teoria numerelor, care sa opus ulterior Cantor.

După ce a petrecut un semestru la Universitatea din Göttingen în 1866, anul viitor, George a scris teza de doctorat sub titlul „În matematică, arta de a pune întrebări este mai valoros decât rezolvarea problemelor“, în ceea ce privește problema pe care Carl Friedrich Gauss a lăsat nerezolvată în lucrarea sa Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Dupa ce a predat pe scurt la Școala din Berlin pentru fete Kantor a început să lucreze la Universitatea din Halle, unde a rămas până la sfârșitul vieții sale, mai întâi ca lector, din moment ce 1872 ca profesor asistent, iar din 1879 primul ca profesor.

cercetare

La începutul unei serii de 10 lucrări de la 1869 la 1873, Georg Cantor a considerat teoria numerelor. Lucrarea reflectă fascinația cu subiectul, studiile lui Gauss și influența lui Kronecker. La sugestia lui Heinrich Eduard Heine, colegii lui Cantor de la Halle, care au recunoscut talentul său matematic, el a apelat la teoria seriilor trigonometrice, care a extins conceptul de numere reale.

Bazat pe funcția de lucru a unei variabile complexe a matematicianului german Bernhard Riemann în 1854, în 1870 Cantor a arătat că o astfel de funcție poate fi reprezentată într-o singură cale - prin seria trigonometrice. Examinarea setului de numere (puncte), care nu ar contrazice acest punct de vedere, a avut ca rezultat, în primul rând în 1872 la godu definiție numere iraționale în termeni de convergente numerele rationale (fractiile de numere intregi) si inca de la inceputul lucrului asupra muncii intregii vieti, teoria seturilor si conceptul de numere transfinite.

Teoria seturilor

Georg Cantor, teoria care stabilește originea în corespondență cu Institutul Tehnic din Braunschweig matematician Richard Dedekind, a fost prieten cu el încă din copilărie. Ei au ajuns la concluzia că seturile, finită sau infinit, sunt o multitudine de elemente (de exemplu, numere de {0, ± 1, ± 2 ...}) care au o anumită proprietate, păstrând în același timp individualitatea. Dar când Georg Cantor aplicate pentru a studia caracteristicile lor de o corespondență (de exemplu, {A, B, C} la {1, 2, 3}), a realizat rapid că acestea diferă în gradul lor de afiliere, chiar dacă ar fi seturi infinite , adică seturi a căror parte sau subset include atâtea obiecte ca și ea însăși. Metoda sa a produs în curând rezultate surprinzătoare.

În 1873, Georg Cantor (matematician) a arătat că numerele raționale, deși infinit, sunt numărabile, deoarece acestea pot fi puse în unu-la-unu cu corespondență naturală (de ex., E. 1, 2, 3 ,. D.). El a arătat că mulțimea de numere reale, constând din irațional și rațional, este infinită și nesemnificativă. Ce paradox, Cantor a demonstrat că mulțimea tuturor numerelor algebrice conține cât mai multe elemente ca mulțimea tuturor numerelor întregi, și că numerele transcendente care nu sunt algebrică, care sunt un subset de numere iraționale este nenumărat și, prin urmare, numărul lor este mai mare decât numerele întregi , și ar trebui considerat infinit.

Oponenții și suporterii

Dar lucrarea lui Cantor, în care el a pus mai întâi înainte rezultatele, nu a fost publicat în „Krell“ revista ca unul dintre recenzori, Kronecker sa opus. Dar, după intervenția lui Dedekind, a fost publicată în 1874 sub titlul "Despre proprietățile caracteristice ale tuturor numerelor algebrice reale".

Știință și viață personală

În același an, în timpul lunii de miere cu soția sa, Valli Gutman în Interlaken, Elveția, Cantor sa întâlnit Dedekind, care a comentat cu amabilitate pe noua sa teorie. George salariu a fost mic, dar cu banii tatălui său, care a murit în 1863, el a construit pentru soția sa și cinci copii de acasă. Multe dintre lucrările sale au fost publicate în Suedia, în noua revista Acta Mathematica, editorul si fondatorul care a fost Gösta Mittag-Leffler, printre primii care au recunoscut talentul matematicianului german.

Relația cu metafizica

Teoria Cantor a fost complet nou subiect de cercetare cu privire la infinit matematica (de exemplu, secvența 1, 2, 3 ,. D., și seturi mai complexe), care depinde în mare măsură de unu-la-unu corespondență. Dezvoltarea de către Kantor a unor noi metode de ridicare a întrebărilor legate de continuitate și infinit a dat studiilor sale un caracter ambiguu.

Când a afirmat că un număr infinit există într-adevăr, el a apelat la filosofia antică și medievală cu privire la infinit și potențiale, precum și educația religioasă timpurie, pe care părinții l-au dat. În 1883, în cartea sa Fundamentele teoriei seturilor generale, Cantor și-a combinat conceptul cu metafizica lui Platon.

Kronecker, de asemenea, care a afirmat că „există“ doar numere întregi ( „Dumnezeu a creat numerele întregi, restul - lucrarea omului“), timp de mai mulți ani au respins cu fermitate argumentele sale și a împiedicat numirea sa la Universitatea din Berlin.

Numere transfrontite

În anii 1895-97. Georg Cantor a format pe deplin ideea lui de continuitate și infinit, inclusiv o secvență de numere și cardinale fără sfârșit, în lucrarea sa cea mai faimoasă, publicat sub titlul „Contributii la teoria numerelor transfinite“ (1915). Această lucrare include concepția sa, la care el a condus o demonstrație a faptului că un set infinit poate fi livrat într-o corespondență unu-la-unu cu unul dintre subseturi sale.

Cel mai mic număr cardinal transfinit el a însemnat puterea de orice set, care poate fi pus în unu-la-unu corespondență cu numerele naturale. Cantor a numit-o la zero. pluralitate transfinite mare Alef desemnată una, două sau Aleph-t. D. dezvoltată în continuare ordinale aritmetice, care a fost similară cu cea aritmetică finită. Astfel, el a îmbogățit noțiunea de infinit.

Opoziția cu care sa confruntat și timpul necesar ca ideile sale să fie pe deplin acceptate sunt explicate de dificultățile de a reevalua vechea întrebare a numărului. Cantor a arătat că setul de puncte de pe linie are o putere mai mare decât alef-zero. Aceasta a dus la problema binecunoscută a ipotezei continuumului - nu există numere cardinale între alelele zero și puterea punctelor de pe linie. Această problemă, în prima și a doua jumătate a secolului 20 este de mare interes și a fost studiat de mulți matematicieni, în Vol. H. Kurt Gödel și Paul Cohen.

depresiune

Biografia lui Georg Cantor 1884 a fost marcată de boala lui incipiente mintale, dar el a continuat să lucreze în mod activ. În 1897, el a ajutat la conducerea primului congres matematic internațional din Zurich. Parțial pentru că el sa opus Kronecker, el de multe ori simpatizat cu tinerii matematicieni înmugurirea și au încercat să găsească o cale de a le salva de la hărțuirea de către profesori, care se simt amenințați de noi idei.

recunoaștere

La începutul secolului, opera sa a fost pe deplin recunoscută ca bază pentru teoria funcțiilor, analizei și topologiei. În plus, cărțile lui Cantor George au servit ca un impuls pentru dezvoltarea ulterioară a școlilor intuiționiste și formaliste ale bazelor logice ale matematicii. Acest lucru a schimbat semnificativ sistemul de predare și este adesea asociat cu "noile matematici".

În 1911, Kantor a fost invitat să sărbătorească cea de-a 500-a aniversare a Universității St. Andrews din Scoția. A plecat în speranța de a întâlni Bertrand Russell, care, în lucrarea sa publicat recent Principia Mathematica se face referire în mod repetat matematicianul german, dar acest lucru nu sa întâmplat. Universitatea a acordat Cantor gradul de onoare, dar din cauza bolii nu a putut accepta personal premiul.

Kantor sa retras în 1913, a trăit în sărăcie și în timpul primului război mondial a murit de foame. Sărbătorile în cinstea celei de-a 70-a aniversări din 1915 au fost anulate din cauza războiului, dar o mică ceremonie a avut loc la domiciliu. A murit la 06.01.1918 la Halle, într-un spital de psihiatrie, unde a petrecut ultimii ani de viață.

George Cantor: biografie. familie

La 9 august 1874, un matematician german sa căsătorit cu Vali Gutman. Cuplul avea 4 fii și 2 fiice. Ultimul copil sa nascut in 1886 in noua casa cumparata de Cantor. Pentru a-și menține familia a fost ajutat de moștenirea tatălui său. Din sănătatea lui Cantor a afectat foarte mult moartea fiului său cel mai tânăr în 1899 - de atunci nu a fost deprimat.