Seria Fourier: istoria și influența unui mecanism matematic asupra dezvoltării științei

Seria Fourier este o reprezentare a unei funcții luate arbitrar cu o anumită perioadă, sub forma unei serii. În general, această soluție se numește extinderea unui element de-a lungul unei baze ortogonale. Extinderea funcțiilor în serie Fourier este destul de un instrument puternic pentru rezolvarea diverselor probleme datorită proprietăților transformării în integrare, diferențiere, precum și o schimbare în expresia argument și convoluție.

O persoană care nu este familiarizat cu matematici superioare, precum și cu lucrările Fourier om de știință francez, cel mai probabil, nu va înțelege ce „rândurile“ și ce fac ei. Și totuși această transformare a devenit destul de densă în viața noastră. Este folosit nu numai de matematicieni, ci și de fizicieni, chimici, medici, astronomi, seismologi, oceanografi și mulți alții. Să ne familiarizăm, de asemenea, cu lucrările marelui om de știință francez, care a făcut descoperirea înainte de timpul său.

Omul și transformarea Fourier

Seria Fourier este una dintre metodele (împreună cu analizele și altele) Transformarea Fourier. Acest proces are loc de fiecare dată când o persoană aude un sunet. Urechea noastră convertește automat sunet de undă. Mișcările vibraționale ale particulelor elementare într-un mediu elastic sunt descompuse în serie (în funcție de spectru) a valorilor succesive ale nivelului de luminozitate pentru tonuri de înălțimi diferite. Mai mult, creierul transformă aceste date în sunete familiare pentru noi. Toate acestea se întâmplă în plus față de dorința sau conștiința noastră, în sine, dar pentru a înțelege aceste procese, va dura mai mulți ani pentru a studia matematica superioară.

Mai multe despre transformarea Fourier

Transformarea Fourier poate fi efectuată prin metode analitice, numerice și alte metode. Seriile Fourier se referă la metoda numerică de descompunere a oricăror procese vibraționale - de la valurile oceanelor și undele luminoase la ciclurile de activitate ale energiei solare (și a altor obiecte astronomice). Folosind aceste tehnici matematice, puteți analiza funcțiile, reprezentând procese oscilante ca o serie de componente sinusoidale, care se deplasează de la minim la maxim și înapoi. Transformarea Fourier este o funcție care descrie faza și amplitudinea sinusoidelor corespunzătoare unei anumite frecvențe. Acest proces poate fi folosit pentru a rezolva ecuații foarte complicate care descriu procesele dinamice care apar sub acțiunea energiei termice, ușoare sau electrice. De asemenea, seria Fourier folosite pentru a distinge componentele de curent continuu în forme de undă complexe, ceea ce face posibilă interpretarea corectă a observațiilor experimentale în medicină, chimie și astronomie.

Istoricul istoric

Părintele fondator al acestei teorii este matematicianul francez Jean Baptiste Joseph Fourier. Numele lui a fost numit mai târziu această transformare. Inițial, omul de știință și-a folosit metoda pentru a studia și a explica mecanismele conductivității termice - propagarea căldurii în solide. Fourier a sugerat că distribuția inițială neregulată a undei de căldură poate fi descompusă în sinusoide simple, fiecare având temperatura proprie minimă și maximă, precum și faza sa. În acest caz, fiecare componentă va fi măsurată de la minim la maxim și invers. Funcția matematică, care descrie vârfurile superioare și inferioare ale curbei, precum și faza fiecărei armonici, a fost numită transformarea Fourier a expresiei pentru distribuția temperaturii. Autorul teoriei a redus funcția generală de distribuție, care este dificil de descris, la o serie foarte convenabilă funcții periodice cosinus și sinus, în suma care dă distribuția inițială.

Principiul transformării și al viziunii contemporanilor

Contemporanii matematicienilor de știință de la începutul secolului al XIX-lea nu au acceptat această teorie. Principala obiecție a fost aprobarea Fourier că funcția discontinuă care descrie o linie dreaptă sau curbă este ruptă, poate fi reprezentat ca o sumă de expresii sinusoidale care sunt continue. De exemplu, putem lua în considerare "pasul" Heaviside: valoarea lui este zero în stânga discontinuității și unitatea la dreapta. Această funcție descrie dependența curentului electric de variabila de timp atunci când circuitul este închis. Teoria contemporană la acel moment, nu a întâlnit o astfel de situație, atunci când o expresie discontinuu ar fi descrisă printr-o combinație de funcții continue, comune, cum ar fi exponențială, sinusoidală, liniară sau pătratică.

Ce matematicieni francezi jenat în teoria Fourier?

La urma urmei, dacă un matematician a avut dreptate în declarațiile sale, apoi, însumând o serie infinită de triunghiometrie Fourier, se poate obține o reprezentare exactă a expresiei pasului chiar dacă are multe astfel de pași. La începutul secolului al XIX-lea, o asemenea declarație părea absurdă. Dar, în ciuda tuturor îndoieli, mulți matematicieni au extins domeniul de aplicare al studiului acestui fenomen, deplasându-l dincolo de studiile de conducție termică. Cu toate acestea, cei mai mulți oameni de știință au continuat să sufere întrebarea: „? Poate suma seriei de undă sinusoidală converge la valoarea exactă a unei funcții discontinuă“

Convergența seriei Fourier: un exemplu

Problema convergenței este ridicată de fiecare dată când este necesar să se adauge un număr infinit de numere. Pentru a înțelege acest fenomen, să luăm în considerare un exemplu clasic. Poți ajunge vreodată la perete dacă fiecare pas ulterior este jumătate din cel precedent? Să presupunem că sunteți la doi metri de țintă, primul pas vă aduce pe marcaj pe jumătate, următorul - la marca de trei sferturi, iar după a cincea veți depăși aproape 97% din drum. Cu toate acestea, indiferent de câți pași ai făcut, nu veți atinge obiectivul dvs. într-un sens matematic strict. Utilizând calcule numerice, se poate demonstra că în final este posibil să se abordeze o distanță arbitrar mică predeterminată. Această dovadă este echivalentă cu a demonstra că valoarea totală de o secundă, un sfert etc. va avea tendința de a fi unitate.

Problema convergenței: cea de-a doua venire sau Dispoziția Domnului Kelvin

În mod repetat întrebarea a apărut în secolul al XIX-lea, când seria Fourier au încercat să folosească pentru a prezice intensitatea fluxuri și. La acea vreme, Lordul Kelvin a fost inventat de dispozitiv este un calculator analogic, care a permis marinari bleumarin și un monitor de comerciant marin este un fenomen natural. Acest set mecanism definit de faze și amplitudini ale înălțimii de masă a mareelor ​​și momentele de timp corespunzătoare, cu atenție măsurate în port pe tot parcursul anului. Fiecare parametru era o componentă sinusoidală a înălțimii mareei și era unul dintre componentele obișnuite. Rezultatele măsurătorilor sunt introduse în dispozitivul de calcul Lord Kelvin, sintetizând curba care a prezis înălțimea apei ca funcție a anului următor. Foarte curând, astfel de curbe au fost compilate pentru toate porturile lumii.

Și dacă procesul este rupt de o funcție discontinuă?

În acel moment, părea evident că un dispozitiv care prezice un val mare cu un număr mare de elemente de numărare ar putea calcula un număr mare de faze și amplitudini și astfel ar oferi predicții mai precise. Cu toate acestea, sa dovedit că această regularitate nu este observată în acele cazuri în care expresia de maree ce trebuie sintetizată conținea un salt ascuțit, adică era discontinuu. În cazul în care datele sunt introduse în dispozitiv din tabelul momentelor de timp, acesta calculează câțiva coeficienți Fourier. Funcția inițială este restabilită datorită componentelor sinusoidale (în conformitate cu coeficienții găsiți). Diferența dintre expresia originală și cea restaurată poate fi măsurată în orice punct. Când se efectuează calcule și comparații repetate, este evident că valoarea celei mai mari erori nu este redusă. Cu toate acestea, ele sunt localizate în regiunea corespunzătoare punctului de discontinuitate și, în orice alt punct, ele tind să fie zero. În 1899, acest rezultat a fost confirmat teoretic de Joshua Willard Gibbs de la Universitatea Yale.

Convergența seriilor Fourier și dezvoltarea matematicii în general

Analiza Fourier nu este aplicabilă expresiilor care conțin un număr infinit de erupții la un anumit interval. În general, seria Fourier, dacă funcția inițială este reprezentată de rezultatul unei dimensiuni fizice reale, mereu converg. Aspectele legate de convergență a acestui proces pentru anumite clase de funcții au condus la noi ramuri ale matematicii, cum ar fi teoria funcțiilor generalizate. Este asociat cu nume precum L. Schwartz, J. Mikusinsky și J. Temple. În cadrul acestei teorii, a fost creat un cadru teoretic clar și precis pentru astfel de expresii ca funcția delta delta (descrie zona unei singure zone concentrate într-un cartier infinitezimal al unui punct) și "pasul" Heavisidei. Prin această lucrare serie Fourier a devenit aplicabilă pentru rezolvarea ecuațiilor și probleme, care implică concepte intuitive: puncte de încărcare, masă punct, dipole magnetice, și sarcina concentrată pe grinda.

Metoda Fourier

Seria Fourier, în conformitate cu principiile interferenței, începe cu descompunerea formelor complexe în cele mai simple. De exemplu, o modificare a fluxului de căldură datorită trecerii sale prin diferitele bariere ale căldurii materiale de formă neregulată izolatoare sau schimbarea suprafeței solului - un cutremur, o schimbare în orbita corpului ceresc - influenta planetelor. De regulă, ecuații similare care descriu sisteme clasice simple sunt rezolvate elementar pentru fiecare val individual. Fourier a arătat că soluțiile simple pot fi, de asemenea, rezumate pentru a obține soluții la probleme mai complexe. Exprimată în limba matematică, seria Fourier este o tehnică pentru exprimarea unei expresii prin suma armonicelor - unde cosinus și sine. Prin urmare, această analiză este, de asemenea, cunoscută sub numele de "analiză armonică".

Seria Fourier este o tehnică ideală înainte de "vârsta calculatorului"

Înainte de crearea tehnologiei computerelor, metoda lui Fourier a fost cea mai bună armă în arsenalul oamenilor de știință atunci când lucra cu natura valurilor lumii noastre. Seria Fourier în formă complexă ne permite să rezolvăm nu numai problemele simple care sunt supuse aplicării directe a legilor mecanicii newtoniene, dar și ecuațiilor fundamentale. Majoritatea descoperirilor științei newtoniene din secolul al XIX-lea au devenit posibile numai datorită metodei Fourier.

Seria Fourier astăzi

Odată cu dezvoltarea calculatoarelor, transformările Fourier au crescut la un nivel calitativ nou. Această tehnică este ferm înrădăcinată în aproape toate domeniile științei și tehnologiei. Un exemplu este semnalul digital audio și video. Realizarea sa a devenit posibilă numai datorită teoriei dezvoltate de matematicianul francez la începutul secolului al XIX-lea. Astfel, seria Fourier într-o formă complexă a făcut posibilă realizarea unui progres în studiul spațiului cosmic. În plus, acest lucru a afectat studiul fizicii materialelor semiconductoare și a plasmei, acustica cu microunde, oceanografia, radiolocația, seismologia.

Seriile Fourier trigonometrice

În matematică, seria Fourier este o modalitate de a reprezenta funcții complexe arbitrare ca o sumă mai simplă. În general, numărul de astfel de expresii poate fi infinit. În acest caz, cu cât numărul acestora este luat în considerare în calcul, cu atât mai exact rezultatul final. Cel mai adesea, funcțiile trigonometrice ale cosinusului sau sinusului sunt utilizate ca cele mai simple. În acest caz, seria Fourier este numită trigonometrică, iar soluția unor astfel de expresii este extinderea armonicului. Această metodă joacă un rol important în matematică. Mai întâi de toate, seria trigonometrică oferă mijloacele pentru imagine, precum și studiul funcțiilor, este aparatul de bază al teoriei. În plus, permite rezolvarea unui număr de probleme de fizică matematică. În cele din urmă, această teorie a contribuit la dezvoltarea analiza matematică, a adus la viață o serie de secțiuni foarte importante ale științei matematice (teoria integralelor, teoria funcțiilor periodice). În plus, a servit drept punct de pornire pentru dezvoltarea următoarelor teorii: seturi, funcțiile unei variabile reale, analiza funcțională, și a inițiat, de asemenea, o analiză armonioasă.