Semnificația fizică a derivatului unei funcții. Sarcini pentru semnificația fizică a derivatului: exemple de soluții

Problemele matematice își găsesc aplicația în multe științe. Acestea includ nu numai fizica, chimie, tehnologie și economie, ci și medicină, ecologie și alte discipline. Unul dintre conceptele importante care trebuie învățate pentru a găsi soluții la dileme importante este derivatul funcției. Sensul fizic al acesteia nu este la fel de dificil precum ar părea celui neinvitat în esența problemei. Este suficient doar să găsim exemple adecvate de acest lucru în viața reală și în situațiile obișnuite de zi cu zi. De fapt, orice motorist se ocupă de această sarcină în fiecare zi, când se uită la vitezometru, determinând viteza mașinii sale într-o anumită clipă de timp fix. În acest parametru se află esența semnificației fizice a derivatului.

Cum de a găsi viteza

Determinați viteza unei persoane pe drum, știind distanța parcursă și timpul pe șosea, ușor orice elev de clasa a cincea poate cu ușurință. Pentru a face acest lucru, prima dintre valorile date este împărțită în a doua. Dar nu fiecare tânăr matematician știe că în acest moment el găsește raportul incrementelor unei funcții și al unui argument. Într-adevăr, dacă reprezentăm mișcarea sub forma unui grafic, așezând calea de-a lungul axei ordinii și timpul de-a lungul abscisei, aceasta va fi exact așa.

Cu toate acestea, viteza unui pieton sau a oricărui alt obiect pe care îl definim pe o mare parte a căii, presupunând că mișcarea este uniformă, poate fi foarte diferită. În fizică, sunt cunoscute multe forme de mișcare. Poate să apară nu numai cu accelerație constantă, ci și cu încetinirea și creșterea arbitrară. Trebuie remarcat faptul că în acest caz linia care descrie mișcarea nu va mai fi o linie dreaptă. Din punct de vedere grafic, poate accepta cele mai complexe configurații. Dar pentru oricare dintre punctele din grafic, putem trage întotdeauna o tangentă reprezentată de o funcție liniară.

Pentru a clarifica parametrul de schimbare a mișcării în funcție de timp, este necesar să se scurteze segmentele măsurate. Când devin infinitezimale, viteza calculată va fi instantanee. Această experiență ne ajută să dăm definiția derivatului. Semnificația fizică a acesteia rezultă, de asemenea, dintr-o logică similară.

Din punct de vedere al geometriei

Se știe că cu cât este mai mare viteza corpului, cu atât este mai abruptă graficul dependenței deplasării în timp și, deci, unghiul de înclinare a tangentei la grafic într-un anumit punct. Indicatorul acestor modificări poate fi tangenta unghiului dintre axa abscisei și linia tangentă. Acesta determină doar valoarea derivatului și se calculează prin raportul lungimii opusului cu piciorul adiacent într-un triunghi dreptunghiular format dintr-un perpendicular căzut de la un punct la abscisă.

Acesta este sensul geometric al primului derivat. Fizica este descoperită prin faptul că dimensiunea piciorului opus este în cazul nostru o cale traversată, iar cea adiacentă este timpul. În acest caz, raportul lor este viteza. Și din nou ajungem la concluzia că viteza instantanee, determinată de efortul ambelor lacune la infinitezimale, este esența conceptului de derivat, indicând sensul său fizic. Al doilea derivat din acest exemplu este accelerarea corpului, care la rândul său demonstrează gradul de schimbare a vitezei.

Exemple de găsire a derivaților în fizică

Un derivat este un indicator al ratei la care se schimbă orice funcție, chiar dacă nu este vorba de a se deplasa în sensul literal al cuvântului. Pentru a ilustra acest lucru, oferim câteva exemple concrete. Să presupunem că puterea actuală, în funcție de timp, variază în conformitate cu următoarea lege: eu = 0,4 t². Este necesar să se găsească valoarea ratei la care se modifică acest parametru la sfârșitul celei de-a 8-a secunde a procesului. Observăm că cantitatea însăși, așa cum este judecată din ecuație, crește în mod constant.

Pentru soluție este necesar să se găsească primul derivat, a cărui semnificație fizică a fost considerată mai devreme. aici dI/dt = 0,8T. În continuare, găsim asta la T= 8, constatăm că rata la care variază curentul este egală cu 6.4 A/c. Aici se consideră că curentul este măsurat în amperi și respectiv în secunde.

Totul este schimbabil

Lumea vizibilă din jur, formată din materie, suferă constant schimbări, fiind în mișcare a diferitelor procese care au loc în ea. O varietate de parametri pot fi folosiți pentru a le descrie. Dacă sunt combinate printr-o relație, ele sunt scrise matematic ca o funcție care le arată vizual schimbările. Și unde există o mișcare (sub orice formă este exprimată), există un derivat, sensul fizic pe care îl gândim în prezent.

În acest sens, următorul exemplu. Să presupunem că temperatura corpului se modifică în conformitate cu legea T= 0,2T². Este necesar să găsiți rata de încălzire la sfârșitul secolului al X-lea. Soluția problemei se desfășoară într-un mod analog celui descris în cazul precedent. Aceasta este, găsim derivatul și înlocuim în el valoarea pentruT = 10, avem T = 0,4T = 4. Prin urmare, răspunsul final este de 4 grade pe secundă, adică procesul de încălzire și de schimbare a temperaturii măsurate în grade, apare tocmai la această rată.

Rezolvarea problemelor practice

Desigur, în viața reală, totul este mult mai complicat decât în ​​problemele teoretice. În practică, valoarea cantităților este determinată de obicei în timpul experimentului. În același timp, sunt utilizate dispozitive care oferă o indicație atunci când se măsoară cu o anumită eroare. Prin urmare, în calcule, trebuie să se trateze valorile aproximative ale parametrilor și să se recurgă la rotunjirea numerelor incomode, precum și alte simplificări. Având în vedere acest lucru, vom începe din nou problemele semnificației fizice a derivatului, ținând seama că acestea sunt doar un anumit model matematic al proceselor cele mai complexe care au loc în natură.

Erupția vulcanică

Imaginați-vă că există o erupție vulcanică. Cât poate fi periculos? Pentru a clarifica această problemă, este necesar să se ia în considerare mai mulți factori. Vom încerca să luăm în considerare unul dintre ei.

Din gura "monstruului de foc" pietrele sunt aruncate vertical în sus, având o viteză inițială din momentul în care ieșesc 120 m / s spre exterior. Este necesar să se calculeze modul în care acestea pot atinge înălțimea maximă.

Pentru a găsi valoarea dorită, vom compune ecuația dependenței înălțimii H, măsurată în metri, de alte cantități. Acestea includ viteza și timpul inițial. Valoarea accelerației se presupune a fi cunoscută și aproximativ egală cu 10 m / s².

Derivatul parțial

Acum considerăm sensul fizic al derivatului funcției un pic din cealaltă parte, deoarece ecuația în sine nu poate conține decât una, ci mai multe variabile. De exemplu, în problema anterioară, dependența înălțimii de cățărare a pietrelor emise de orificiile vulcanului a fost determinată nu numai prin schimbarea caracteristicilor de timp, ci și prin valoarea vitezei inițiale. Aceasta din urmă a fost presupusă a fi o valoare constantă, fixă. Dar în alte probleme cu condiții complet diferite, totul ar putea fi diferit. Dacă valorile pe care depinde funcția complexă sunt mai multe, calculele se fac în conformitate cu formulele de mai jos.

Ar trebui determinată semnificația fizică a unui derivat frecvent, ca în cazul obișnuit. Aceasta este rata la care o funcție se schimbă la un anumit punct, pe măsură ce parametrul crește. Se calculează astfel încât toate celelalte componente să fie luate ca constante, numai una este considerată ca fiind o variabilă. Apoi, totul se întâmplă în conformitate cu regulile obișnuite.

Un consultant de neînlocuit pe multe probleme

Înțelegerea semnificației fizice a derivatului, exemple de rezolvare a problemelor complexe și complexe, răspunsul în care se pot găsi cunoștințe similare, este ușor de dat. Dacă avem o funcție care descrie consumul de combustibil în funcție de viteza mașinii, putem calcula la ce parametri va fi ultimul consum de benzină cel mai mic.

În medicină, se poate anticipa modul în care corpul uman reacționează la medicamentul prescris. Luarea medicamentului afectează o varietate de indicatori fiziologici. Acestea includ modificări ale tensiunii arteriale, ritmului cardiac, temperaturii corporale și mult mai mult. Toți depind de doza de medicament luat. Aceste calcule ajută la anticiparea cursului tratamentului, atât în ​​cazul manifestărilor favorabile, cât și în cazul accidentelor nedorite care pot afecta în mod fatal schimbările din corpul pacientului.

Fără îndoială, este important să înțelegem semnificația fizică a derivatului în chestiuni tehnice, în special în domeniul electrotehnic, al produselor electronice, al construcțiilor și al construcțiilor.

Distanța de frânare

Să luăm în considerare următoarea sarcină. Mutând la viteză constantă, mașina, apropiindu-se de pod, a fost forțată să se oprească cu 10 secunde înainte de intrarea sa, deoarece șoferul a observat un semn rutier care interzice traficul cu o viteză mai mare de 36 km / h. Șoferul a încălcat regulile dacă distanța de frânare poate fi descrisă de formula S = 26t - t²?

Calculând primul derivat, găsim formula pentru viteză, obținem v = 28 - 2t. Apoi, înlocuiți valoarea t = 10 în expresia indicată.

Deoarece această valoare a fost exprimată în secunde, viteza este de 8 m / s, ceea ce înseamnă 28,8 km / h. Acest lucru face posibilă înțelegerea faptului că șoferul a început să se oprească în timp și nu a încălcat regulile mișcării și, prin urmare, limita indicată pe semnul vitezei.

Aceasta dovedește importanța semnificației fizice a derivatului. Un exemplu de rezolvare a acestei probleme demonstrează amploarea utilizării acestui concept în diferite sfere ale vieții. Inclusiv în situații de zi cu zi.

Derivat în economie

Până în secolul al XIX-lea, economiștii funcționau în principal pe valori medii, indiferent de productivitatea muncii sau de prețul produselor fabricate. Dar, dintr-un anumit punct, pentru a face previziuni eficiente în acest domeniu, valorile limită au devenit mai necesare. Acestea includ utilitatea marginală, veniturile sau costurile. Înțelegerea acestui fapt a dat naștere la crearea unui instrument complet nou în cercetarea economică, care a existat și sa dezvoltat de peste o sută de ani.

Pentru a compune astfel de calcule, acolo unde astfel de concepte predomină, cel puțin și maxim, este pur și simplu necesar să înțelegem semnificația geometrică și fizică a derivatului. Printre fondatorii bazei teoretice a acestor discipline se numără economiști englezi și austrieci proeminenți precum americanii Jevons, K. Menger și alții. Desigur, valorile limită în calculele economice nu pot fi utilizate întotdeauna convenabil. Și, de exemplu, rapoartele trimestriale nu se încadrează neapărat în schema existentă, dar aplicarea acestor teorii este în multe cazuri utilă și eficientă.