Funcția este analitică: forma și trăsăturile. Teoria funcțiilor analitice

Funcția analitică este dată de o serie de putere convergentă la nivel local. Atât adevăratul, cât și complexul sunt infinit de diferențiate, dar există unele proprietăți ale celui de-al doilea care sunt adevărate. O funcție f definită pe un subset deschis U, R sau C este considerată analitică numai dacă este dată de o serie convergentă de putere la nivel local.

Definiția acestui concept

Funcții analitice complexe: R (z) = P (z) / Q (z). Aici P (z) = am zm + am-1-zm 1 + ⋯ + a1 z + a0 și Q (z) = bn zn +-bn 1, zn-1 + ⋯ + z b1 + b0. Mai mult, P (z) și Q (z) sunt polinoame cu coeficienți complecși sînt, am-1, ..., a1, a0, bn, bn-1, ..., b1, b0.

Să presupunem că am și bn nu sunt egale cu zero. Și, de asemenea, că P (z) și Q (z) nu au factori comuni. R (z) poate fi diferențiat în orice punct C → SC → S, iar S este un set finit în interiorul C pentru care numitorul Q (z) dispare. Maximul a două grade ale numărătorului și gradul numitorului se numește gradul funcției raționale R (z), precum și suma celor doi și a produsului. Mai mult, este posibil să se verifice că prin intermediul acestor operațiuni de adunare și înmulțire satisface spațiu axiome câmp și este notat cu G (X). Acesta este un exemplu important.

Conceptul de valori numerice pentru valorile holomorfe

Teorema fundamentală a algebrei ne permite să calcunem polinomii P (z) și Q (z), P (Z) = am (z minus-z1) p1 (z minus-z2) p2 .... (z minus-zr) prP (Z) = am (z minus-z1) p1 (z minus-z2) p2 .... (z minus-zr) pr și Q (Z) = bn (z minus-s1) q1 (z minus-s2) q2 .... (z minus-sr) qr. În cazul în care exponenții denotă multiplicitatea rădăcinilor și aceasta ne dă prima dintre cele două forme canonice importante pentru o funcție rațională:

R (Z) = a m (z minus-z1) p1 (z minus-z2) p2 .... (z minus-zr) / p r bn (zminus-s1) q1 (zminus-s2) q2 .... (zminus-sr) qr. Zerourile z1, ..., zr ale numărătorului sunt așa numite în funcția rațională și s1, ..., sr al numitorului sunt considerate poli. Ordinul este multiplicitatea sa, ca rădăcină a valorilor de mai sus. Câmpurile primului sistem sunt simple.

Spunem că o funcție rațională R (z) este regulată dacă:

m = deg P (z) le-n-n = degF (o) Q (z) și strict regulat dacă m

Analiticitate cu diferentiabilitate

Știm că orice funcție analitică poate fi reală sau complexă, iar diviziunea este infinită, care este numită și netedă sau Cinfin. Acesta este cazul variabilelor materiale.

Când analizăm funcțiile complexe care sunt analitice și derivate, situația este foarte diferită. Este ușor să se demonstreze că într-un set deschis orice funcție care este structurabil diferențiată este holomorfă.

Exemple de această funcție

Luați în considerare următoarele exemple:

1). Toate polinoamele pot fi reale sau complexe. Acest lucru se datorează faptului că gradul de polinomului pentru (mai mare) „n“ variabile mai mari decât n în extinderea corespunzătoare seria Taylor, merge imediat în 0, și, prin urmare, seria converge trivially. În plus, adăugarea fiecărui polinom este o serie Maclaurin.

2). Toate funcțiile exponențiale sunt, de asemenea, analitice. Acest lucru se datorează faptului că toate seria Taylor va converge pentru toate valorile care pot fi reale sau complexe "x" foarte apropiate de "x0", ca în definiție.

3). Pentru orice set deschis în domeniile corespunzătoare, funcțiile trigonometrice, de putere și logaritmice sunt, de asemenea, analitice.

Exemplu: aflați valorile posibile i-2i = exp ((2) log (i))

Soluția. Pentru a găsi valorile posibile ale acestei funcții, vedem mai întâi că, log? (i) = log? 1 + i arg? [Pentru că (i) = 0 + i pi2pi2 + 2pi-pi-ki, pentru fiecare k care aparține întregului set. Acest lucru dă, i-2i = exp? (pi-pi- + 4pi-pi-k), pentru fiecare k aparținând setului de numere întregi. Acest exemplu arată că numărul complex de zalpha-alfa poate avea de asemenea valori diferite, infinit de asemănătoare cu logaritmele. Chiar dacă funcțiile cu o rădăcină pătrată pot avea maxim două valori, atunci ele sunt de asemenea un bun exemplu de funcții multivaluate.

Proprietățile sistemelor holomorfe

Teoria funcțiilor analitice este după cum urmează:

1). Compozițiile, sumele sau produsele sunt holomorfe.

2). Pentru o funcție analitică, inversul său, dacă nu este deloc egal cu zero, este similar. În plus, derivatul invers nu trebuie să fie 0, este din nou holomorf.

3). Această funcție poate fi diferențiată continuu. Cu alte cuvinte, putem spune că este netedă. Dimpotrivă, această afirmație este falsă, adică toate funcțiile infinit de diferențiate nu sunt analitice. Acest lucru se datorează faptului că, într-un anumit sens, acestea sunt rare în comparație cu toate opusele.

Funcția holomorfă cu mai multe variabile

Folosind seria de putere a acestor valori poate fi determinată de mai mulți parametri de sistem menționate. Functiile analitice ale mai multor variabile au aceleasi proprietati ca si cu o variabila. Cu toate acestea, în special pentru figuri complexe, sunt fenomene noi si interesante la locul de muncă în două sau mai multe dimensiuni. De exemplu, zero în seturi de funcții complexe olomorfe în mai mult de o variabilă este niciodată discret. Piesele reale și imaginare satisfac ecuația Laplace. Aceasta este, pentru a îndeplini funcția de locuri de muncă analitică presupune următoarele valori și teorii. Dacă z = x + iy, este o condiție importantă care f (z) este olomorfă, este împlinirea ecuațiile Cauchy-Riemann: ux - prima derivata parțială a u în x. Prin urmare, u satisface ecuația Laplace. Pe lângă un calcul similar care arată rezultatul v.

Caracterizarea îndeplinirii inegalităților pentru funcții

Pe de altă parte, având în vedere o peremenennuyu armonic, este o parte reală a unui olomorfă (cel puțin la nivel local). În cazul în care forma de testare, atunci ecuațiile Cauchy-Riemann vor fi satisfăcute. Acest raport nu determină psi-, dar numai incrementele. Din ecuația lui Laplace pentru Rezultă că condiția de integrabilitate pentru psi. Și, prin urmare, psi - poate fi dat de un numitor liniar. Din ultima cerință și din teorema lui Stokes rezultă că valoarea integrării liniare integrate în două puncte nu depinde de cale. Perechea de soluții care rezultă din ecuația Laplace se numește funcții armonice conjugate. Această construcție este valabilă numai la nivel local sau cu condiția ca traseul să nu intersecteze singularitatea. De exemplu, dacă r și tentative. Cu toate acestea, unghiul Theta nu este clară decât într-o zonă care nu acoperă începutul.

Relația strânsă dintre ecuația Laplace și funcțiile analitice de bază înseamnă că orice soluție are derivați de toate ordinele și poate fi extins într-o serie de putere, cel puțin în intervalul care nu conține unele caracteristici. Acest lucru contrastează puternic cu soluțiile val de inegalitate, care de obicei au mai puțină regularitate. Există o strânsă legătură între seria de putere și teoria Fourier. Dacă vom extinde funcția f într-o serie de putere în interiorul unui cerc cu raza R, acest lucru înseamnă că, cu coeficienți specifici adecvați ale căror părți reale și imaginare sunt combinate. Aceste valori trigonometrice pot fi extinse folosind mai multe formule unghiulare.

Funcția informațional-analitice

Aceste valori au fost prezentate în versiunea 2 din 8i și au simplificat foarte mult modurile în care rapoartele sumare și interogările OLAP pot fi calculate în SQL direct, non-procedural. Înainte de introducerea funcțiilor de gestionare analitică, rapoartele complexe ar putea fi create în baza de date utilizând conexiuni complexe separate, subcotări și vizualizări încorporate, dar au fost resurse intensive și foarte ineficiente. Mai mult decât atât, dacă întrebarea care trebuie răspunsă este prea complicată, ea poate fi scrisă în PL / SQL (de regulă este mai puțin eficientă decât un operator din sistem).

Tipuri de amplificări

Există trei tipuri de extensii care se încadrează în categoria funcțiilor analitice, deși se poate spune că prima este de a furniza "funcționalitate holomorfă" și de a nu fi similară cu indicatorii și speciile.

1). Extensiile de grupare (grupare și cub)

2). Extensiile clauzei GROUP BY permit ca seturile de rezultate precompuse, rezumatele și generalizările să fie livrate de la serverul Oracle în sine, și nu să utilizeze un instrument precum SQL * Plus.

Opțiunea 1: rezumă salariul pentru sarcină, apoi fiecare departament, apoi întreaga coloană.

3). Metoda 2: combină și calculează salariul în funcție de sarcină, fiecare departament și tipul de întrebare (similar cu raportul privind suma totală din SQL * Plus), apoi întreaga linie de capital. Aceasta va oferi conturi pentru toate coloanele din clauza GROUP BY.

Metode de descoperire a funcției în detaliu

Aceste exemple simple demonstrează puterea metodelor proiectate special pentru a găsi funcții analitice. Ei pot împărți setul de rezultate în grupuri de lucru pentru a calcula, organiza și agrega date. Opțiunile de mai sus ar fi mult mai complexe cu standardul SQL și ar necesita ceva de genul trei scanări ale tabelului EMP în loc de unul. Aplicația OVER are trei componente:

1. PARTITION, cu care setul de rezultate poate fi împărțit în grupuri, cum ar fi departamentele. Fără aceasta, este tratată ca o singură secțiune.
2. ORDINEA DE, cu care puteți organiza un grup de rezultate sau secțiuni. Acest lucru nu este necesar pentru anumite funcții holomorfe, dar este important și esențial pentru cei care au nevoie de acces la liniile de pe fiecare parte a celui curent, cum ar fi LAG și LEAD.
3. RANGE sau ROWS (în AKA), cu care puteți face moduri pentru a include rânduri sau valori în jurul coloanei curente în calculele dvs. Ferestrele RANGE lucrează la valori, iar ferestrele ROWS funcționează cu înregistrări, cum ar fi elementul X de pe ambele părți ale versiunii curente sau toate cele anterioare din această secțiune.

Restaurați funcțiile analitice folosind aplicația OVER. De asemenea, vă permite să distingeți PL / SQL și alte valori similare, indicatori, variabile care au același nume, cum ar fi AVG, MIN și MAX.

Descrierea parametrilor funcționali

Aplicațiile PARTITION și ORDER BY sunt afișate în primul exemplu de mai sus. Setul de rezultate a fost împărțit în departamente separate ale organizației. În fiecare grupare de date au fost comandate enume (folosind criterii implicite (ASC și NULLS LAST). Apendicele gama a fost adăugată, ceea ce înseamnă că utilizarea implicită GAMA UNABUNDED PRECED. Acest lucru arată că toate intrările anterioare din această secțiune pentru a calcula pentru linia curentă.

Cea mai ușoară modalitate de a înțelege funcțiile analitice și ferestrele sunt exemple care arată fiecare dintre cele trei componente ale sistemului OVER. Această introducere demonstrează puterea și simplitatea relativă a acestora. Ele oferă un mecanism simplu pentru calcularea seturilor de rezultate care au fost ineficiente, până la 8i, impracticabile și, în unele cazuri, imposibile în "SQL direct".

Pentru cei neinițiați, sintaxa poate părea la început greoaie, dar de îndată ce vor fi unu sau două exemple, puteți căuta în mod activ oportunități de utilizare a acestora. Pe lângă flexibilitatea și puterea lor, ele sunt, de asemenea, extrem de eficiente. Acest lucru poate fi ușor demonstrat folosind SQL_TRACE și să compare eficiența funcțiilor analitice cu operatorii de baze de date care ar fi necesare în zilele anterioare 8.1.6.

Funcția analitică a marketingului

Studierea și explorarea pieței ca atare. Relațiile din acest segment nu sunt controlate și sunt gratuite. În forma de piață a schimbului de bunuri, servicii și alte elemente importante, nu există niciun control între subiectele entităților de comercializare a energiei electrice. Pentru a obține un profit și un succes maxim, este necesar să analizați unitățile sale. De exemplu, oferta și cererea. Ultimele două criterii măresc numărul de clienți.

De fapt, analiza și observarea sistematică a stării nevoilor consumatorilor conduc adesea la rezultate pozitive. În centrul cercetării de marketing este o funcție analitică care implică studiul ofertei și cererii, monitorizează, de asemenea, nivelul și calitatea produselor și serviciilor care sunt livrate sau care sunt puse în aplicare. La rândul său, piața este împărțită în consum, în lume, în comerț. Printre altele, ajută la investigarea structurii corporative, bazată pe concurenți direcți și potențiali.

Principalul pericol pentru un antreprenor novice sau o firmă este considerat a fi intrarea în mai multe tipuri de piață. Pentru a îmbunătăți cererea de bunuri sau servicii pentru un începător, aveți nevoie de un studiu complet al unui anumit tip de unitate selectată, unde vânzarea va fi realizată. În plus, este important să veniți cu un produs unic, care va crește șansele de succes comercial. Astfel, funcția analitică este o variabilă importantă nu numai în sens restrâns, ci și în sens obișnuit, deoarece studiază cuprinzător și cuprinzător toate segmentele relațiilor de piață.