Cel de-al cincilea postulat al lui Euclid: formulare

Se crede că primele civilizații umane au apărut cu 10.000 de ani în urmă. Comparativ cu vârsta planetei noastre, care, potrivit oamenilor de știință, are o vechime de aproximativ 4,540,000 ani, aceasta este doar un scurt moment. Pentru acest "moment" omenirea a făcut un salt uriaș de la unelte primitive de piatră la nave spațiale interplanetare. Ar fi imposibil ca, din când în când, pe planetă să nu se nască genii, care să facă știința înainte. Dintre acestea, desigur, este Euclid. Lucrările sale au devenit baza și un puternic impuls pentru dezvoltarea matematicii moderne.

Acest articol este dedicat celui de-al cincilea postulat al Euclidului și al istoriei sale.

Cum a apărut geometria

Întrucât parcelele au devenit obiectul vânzării și al leasingului, mărimea și suprafața acestora trebuiau măsurate, inclusiv prin calcul. În plus, astfel de calcule au devenit necesare pentru construirea de structuri de mari dimensiuni, precum și pentru măsurarea volumului de articole diferite. Toate acestea au devenit premise de acum 3-4 mii de ani în Egipt și Babilon arta topografie. Era empiric și reprezenta o colecție de exemple de rezolvare a câteva sute de probleme specifice, fără nici o dovadă.

Ca o știință sistematică, geometria sa dezvoltat în Grecia antică. Până în secolul al III-lea î.Hr. a existat un mare număr de fapte și dovezi. În același timp, a apărut sarcina de a generaliza materialul geometric suficient de mare colectat. Hippocrates, Fedi și alți filosofi greci antice au încercat să o rezolve. Cu toate acestea, un sistem științific calibrat logic a apărut în jurul anului 300 î.Hr. e. cu publicarea "elementelor".

Cine era Euclid

Grecia antică a dat lumii mulți dintre cei mai mari filosofi și oameni de știință. Una dintre acestea este Euclid, care a devenit fondatorul școlii alexandrine de matematică. Practic nimic nu se știe despre omul de știință însuși. Unele surse indică faptul că tânărul viitorul tată al geometriei moderne studiate în faimoasa scoala de Platon din Atena, și apoi a revenit la Alexandria, unde a continuat să studieze matematica și optice, precum și muzică compuneți. În orașul său natal, a fondat o școală, în cazul în care, împreună cu elevii și a creat celebra opera sa, care, pentru mai mult de două mii de ani este baza pentru orice manual de geometrie plană și geometria solidă.

"Începutul" lui Euclid

Principala și cea mai sistematică lucrare privind geometria constă din 13 volume. Primele patru și șase cărți se ocupă de planimetrie, iar 11, 12 și 13 sunt stereometrie. În ceea ce privește volumele rămase, ele sunt dedicate aritmeticii, care este dată în termeni de postulate geometrice.

Rolul activității principale a lui Euclid în dezvoltarea ulterioară a științelor matematice nu poate fi supraestimat. Mai multe liste de papirus din manuscrisele originale, precum și bizantine, ne-au ajuns.

În Evul Mediu, „elemente“ ale lui Euclid au fost studiate în primul rând de către arabi, care-i una dintre cele mai mari opere ale gândirii umane și om de știință din Damasc ia în considerare. Mult mai târziu aceste lucrări au interesat europenii. Odată cu apariția tipăririi cărților, știința, inclusiv geometria Euclidului, a încetat să mai fie proprietatea numai a celor aleși. După prima ediție în 1533. „elemente“ sunt disponibile tuturor celor care doresc să înțeleagă lumea, și există mai multe și mai mult în fiecare an. Cererea a dat naștere propunerii, deci se crede că această lucrare este a doua dintre cele mai citite site-uri antice după Biblie.

Unele caracteristici

„Elemente“ descrie proprietățile metrice ale spațiului tridimensional, gol, nelimitate și izotrop, care este de obicei numit euclidian. Este considerată o arenă în care apar fenomenele fizicii clasice a lui Galileo și a lui Newton.

Un obiect geometric elementar, conform lui Euclid, este un punct. Al doilea concept important este infinitatea spațiului, care se caracterizează prin cele trei postulate. Al patrulea se referă la egalitatea de unghiuri drepte. În ceea ce privește cel de-al cincilea postulat al Euclidului, el determină proprietățile și geometria spațiului euclidian.

Potrivit oamenilor de știință, tatăl geometriei clasice a creat un manual perfect, din care studiul exclude orice neînțelegere a materialului din cauza modului de prezentare lui. În special, fiecare volum al „elemente“ începe cu definirea conceptelor întâlnite pentru prima dată. În special, din primele pagini ale cărții prima cititorul află că un punct, linie, dreaptă și așa mai departe. În total are un 23 definiții necesare pentru înțelegerea principalelor dispoziții ale materialului prezentat în această lucrare fundamentală.

Axiome și primele patru postulate ale lui Euclid

După definiții, autorul "Nachal" citează fraze care sunt acceptate fără dovadă. Acestea le împart în axiome și postulate. Primul grup constă din 11 declarații care sunt cunoscute intuitiv de o persoană. De exemplu, al 8-lea axiom precizează că ansamblul este mai mare decât partea, iar în primul rând, două cantități care sunt egale în mod separat cu cel de-al treilea sunt egale.

În plus, Euclid dă 5 postulate. Primele patru au citit:

• de la orice punct la oricare altul poate desena o linie dreaptă;
• Din orice centru de orice rază este posibil să descrie un cerc;
• o linie delimitată poate continua continuu de-a lungul unei linii drepte;
• toate unghiurile sunt egale.

Cel de-al cincilea postulat al lui Euclid

Timp de peste două milenii, această afirmație a devenit în mod repetat obiectul atenției de matematicieni. Dar mai întâi, facem cunoștință cu conținutul celui de al cincilea postulat lui Euclid. Deci, în formularea modernă sună ca și în cazul în care pe un plan la intersecția a două drepte unilaterale a treia suma unghiurilor interioare mai mici de 180 °, atunci aceste linii continuând în același timp, mai devreme sau mai târziu întâlni pe acea parte pe care această cantitate (cantitate) mai mică de 180 °.

al cincilea postulat lui Euclid, care este formularea din diferite surse este diferită de la început a provocat sport și doresc să-l traducă în categoria de teoreme prin construirea unei dovezi de sunet. Apropo, este adesea înlocuită de o altă expresie, de fapt inventată de Proclus și cunoscută și ca axiom al Playfair. Se citește după cum urmează: pe un plan printr-un punct care nu aparține o anumită linie poate deține una și doar o singură linie dreaptă paralelă cu acest lucru.

limbă

După cum sa menționat deja, mulți oameni de știință au încercat să-și exprime ideea celui de-al 5-lea postulat al lui Euclid într-un mod diferit. Multe formulări sunt destul de evidente. De exemplu:

• liniile drepte care se apropie se intersectează;
• există cel puțin un dreptunghi, adică un 4-gon cu patru unghiuri drepte;
• fiecare cifră poate fi mărită proporțional;
• Există un triunghi care are orice zonă de orice dimensiune care este arbitrar de mare.

deficiențe

Geometria lui Euclid a devenit cea mai mare lucrare matematică din antichitate și până în secolul al XIX-lea a domnit supremă în matematică. În ciuda acestui fapt, unele dintre neajunsurile sale au fost remarcate de contemporanii autorului și de cercetătorii greci antic, care au trăit oarecum mai târziu. În particular, Archimedes a adăugat o nouă axiomă, numită numele său. Se spune: pentru orice segmente AB și CD există un număr natural n astfel încât nmiddot- [AB]> [CD].

În plus, oamenii de știință au căutat să reducă la minimum sistemul de postulate și axiome euclidiene. Pentru a face acest lucru, au adus pe unii dintre ei din restul.

Așadar, a fost posibil să "scăpăm" al celui de-al patrulea postulat despre egalitatea de unghiuri drepte. Sa dovedit o dovadă riguroasă pentru el, făcându-l teoretician.

Istoria celui de-al 5-lea postulat în antichitate și în Evul Mediu timpuriu

Formularea clasică a acestei afirmații a geometriei lui Euclid pare mult mai puțin evidentă decât celelalte patru. Această circumstanță nu a deranjat matematicienii.

Blocul de poticnire pentru al cincilea postulat euclidiană a fost definirea paralelismul celor două linii a și b, precizând că suma celor două unghiuri unilaterale care sunt formate prin intersecția a și b o a treia linie dreaptă c, egal cu 180 de grade.

Prima încercare de a dovedi aceasta ca o teoremă a fost efectuată de vechiul Geometru grec Posidonius. El a propus să ia în considerare o paralelă directă cu planul de mulțimea tuturor punctelor care sunt echidistant față de original. Cu toate acestea, chiar și acest lucru nu a permis Posidonia să găsească dovezi ale celui de-al 5-lea postulat.

Încercările altor matematicieni, inclusiv cele medievale, precum arabii lui Ibn Korra și Hayam, nu au dus la nimic. Singurul lucru care a fost atins este apariția unor noi postulate, care s-au dovedit luând în considerare diferite ipoteze.

În secolele 18-19

Geometria clasică a continuat să fie interesată de matematicieni și în secolul al XVIII-lea. În special, matematicianul francez A. Legendre a reușit să se apropie destul de aproape de dovada axiomei paralelismului euclidian. El a scris un manual remarcabil „Elemente de geometrie“, care este de aproximativ 150 de ani a fost principalul predării matematicii în școlile Imperiului Rus. În el, omul de știință a dat trei variante ale dovezii axiomului euclidian al paralelismului, dar toate s-au dovedit incorecte.

La începutul secolului al XIX-lea a apărut ideea creării unei geometrii non-Euclide. Prima descriere a sistemului, care nu depinde de cel de-al cincilea postulat, a fost dată de inginerul militar J. Boyay. Dar el a fost înspăimântat de descoperirea sa și nu a dezvoltat această idee, considerând-o eronată. Marele matematician german, K. Gauss, nu a reușit, de asemenea, să obțină succes.

descoperire

Pentru mai mult de 2000 de ani de-al cincilea postulat lui Euclid, dovada care au încercat să găsească sute de oameni de știință, a rămas problema numărul unu în matematică. Descoperirea a fost făcută de matematicianul rus NI Lobachevsky. El a fost primul din lume care descrie proprietățile spațiului real, dovedind că geometria Euclidului "funcționează" numai în cazul particular al sistemului său.

NI Lobachevski a urmat inițial aceeași cale ca și colegii săi. Încercând să dovedească cel de-al 5-lea postulat, el nu a reușit. Apoi omul de știință a refuzat noțiunea euclidiană, conform căreia suma unghiurilor unui triunghi este egal cu 180 de grade. Apoi a început să dovedească această afirmație din contrar și a primit o nouă formulare pentru cel de-al cincilea postulat. Acum el a permis existența mai multor linii paralele cu o anumită și trecând printr-un punct situat în afara acestei linii.

Noua geometrie

Nu are nici un rost să discutăm cine a făcut mai mult pentru știința matematică. Rolul lui Euclid și Lobachevsky influență comparabilă asupra formării și dezvoltării lui Newton și fizica lui Einstein. În același timp, noua geometrie absolută ne-a permis să considerăm conceptul de spațiu, renunțând la metoda clasică "Nu înțeleg decât ceea ce pot măsura". Dar tocmai această abordare a fost practicată în știință timp de multe milenii.

Din păcate, ideile geometriei lui Lobachevski nu au fost percepute și înțelese de contemporani. În special, elevii săi nu au continuat lucrarea omului de știință, iar dezvoltarea geometriei non-euclideene a fost amânată pentru câteva decenii.

Unele caracteristici ale teoriei lui Lobachevsky

Pentru a înțelege noua geometrie, trebuie să luăm în considerare infinitatea cosmică. Într-adevăr, este dificil să ne imaginăm că universul fără margini este o sumă de spații rectilinie.

Geometria lui Lobachevsky este folosită pentru a descrie spațiile curbiliniare create de câmpurile gravitaționale ale galaxiilor. Ea a permis să se îndepărteze de metoda de reducere a tuturor cifrelor la un cilindru, cerc, piramidă sau la o combinație arbitrară a acestor cifre. La urma urmei, de exemplu, planeta noastra in realitate nu este o sfera, ci un geoid, adica o figura obtinuta prin conturul conturului exterior al litosferei Pamantului (coaja solida).

În viața reală, există, de asemenea, analogi de spații curbate ale universului, care permite să se introducă posibilitatea existenței mai multor linii paralele ale care trec prin același punct. În special, acestea sunt suprafețe curbe de trei tipuri, care se disting prin geometria italiană E. Beltrami și numite pseudospheres.

Dezvoltarea ulterioară a teoriei lui Lobachevsky

Rusul remarcabil nu a fost singurul care a sugerat că geometria euclidiană nu este absolută. În special, matematicianul B. Riemann în 1854 a avansat ideea posibilității existenței spațiilor de curbură zero, pozitivă și negativă. Aceasta a însemnat că este posibil să se creeze un număr infinit de geometrii diferite neclasice.

Din poziția lui B. Riemann, care a studiat în principal spații cu curbură pozitivă, cel de-al 5-lea postulat al lui Euclid sună destul de neașteptat. Conform ideilor sale, nici o linie dreaptă nu poate fi trasă printr-un punct în afara acestei linii, care este paralel cu aceasta.

Situația este complet diferită cu spațiile de curbură zero, negativă și pozitivă conform teoriei lui Klein. În primul caz, ele sunt descrise printr-o geometrie parabolică, cazul special al cărora este clasic, în al doilea caz ele ascultă de ideile lui Lobachevsky, iar în al treilea corespund proprietăților descrise de Riemann.

După publicarea teoriei relativității lui Albert Einstein, conceptele unor astfel de spații au fost completate de date care au ținut cont de existența a patru dimensiuni interdependente și în schimbare - masa, energia, viteza și timpul.

În practică

Dacă mergem la percepția umană a spațiului, atunci în orbita pământului pentru un triunghi gigantic, cea mai mare abatere posibilă a sumelor unghiurilor interne de la 180 de grade clasice este de numai patru milioane de secunde. O astfel de valoare este dincolo de capacitățile homo sapiens, astfel încât pentru Euclideeni geometria euclidiană este în cerere.

Rămâne să așteptăm să se creeze condiții care să permită obținerea unor date experimentale care să confirme sau să respingă teoriile lui N. Lobachevsky și B. Riemann în scara Galaxiei.

Acum știți că declară cel de-al cincilea postulat al Euclidului și istoria sa, care este foarte instructivă și vă permite să urmăriți evoluția gândirii umane în ultimii 2300 de ani.