Tipuri de matrice. Vedere panoramică a matricei. Reducerea matricei într-o formă treptată și triunghiulară

Matricea este un obiect special în matematică. Este afișată sub forma unei mese dreptunghiulare sau pătrate, pliată dintr-un anumit număr de rânduri și coloane. În matematică există o mare varietate de tipuri de matrice, care diferă în mărime sau conținut. Numerele rândurilor și coloanelor sale sunt numite ordine. Aceste obiecte sunt utilizate în matematică pentru a organiza înregistrarea sistemelor de ecuații liniare și pentru a căuta în mod convenabil rezultatele lor. Ecuațiile care utilizează o matrice sunt rezolvate prin metoda lui Karl Gauss, Gabriel Kramer, a minorilor și a complementarelor algebrice, precum și prin multe alte metode. Abilitatea de bază atunci când lucrați cu matrice este reducerea la vizualizarea standard. Cu toate acestea, pentru început, să ne uităm la ce fel de matematică poate oferi matematica.

Tipul zero

Toate componentele acestui tip de matrice sunt zero. Între timp, numărul rândurilor și coloanelor sale este complet diferit.

Tip pătrat

Numărul de coloane și rânduri din acest tip de matrice este același. Cu alte cuvinte, este un tabel cu forma "pătrat". Numărul coloanelor (sau rândurilor) se numește comandă. Cazuri particulare considerate existența matricei de ordinul doi (2x2 matrice), de patru ori (4x4), nouă (10x10), șaptesprezecea (17x17) și așa mai departe.

Vector-stobets

Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de matrice, conținând o singură coloană, care include trei valori numerice. Ea reprezintă o serie de termeni liberi (numere independente de variabile) în sistemele de ecuații liniare.

Șir de vectori

O vizualizare similară celei anterioare. Se compune din trei elemente numerice, la rândul lor organizate pe o linie.

Tip diagonal

Valorile numerice în forma diagonală a matricei iau doar componentele diagonalei principale (evidențiate în verde). Diagonala principală începe cu elementul din colțul din dreapta sus și se termină cu un număr în a treia coloană a celui de-al treilea rând. Componentele rămase sunt zero. Tipul diagonal este doar o matrice pătrată de o anumită ordine. Printre matricile formei diagonale se poate selecta o matrice scalară. Toate componentele sale au aceleași valori.

Matricea identității

Un subspeci al unei matrice diagonale. Toate valorile sale numerice sunt unități. Folosind un singur tip de tabele de matrice, efectuați transformările de bază sau găsiți o matrice inversă la cea originală.

Tip canonic

Forma canonică a matricei este considerată a fi una dintre cele de bază, reducerea la aceasta este adesea necesară pentru muncă. Numărul de rânduri și coloane din matricea canonică este diferit, nu aparține neapărat tipului pătrat. Este oarecum similar cu matricea unității, dar în cazul său nu toate componentele diagonalei principale iau o valoare egală cu una. Principalele unități diagonale pot fi două, patru (toate depind de lungimea și lățimea matricei). Sau unitățile nu pot exista deloc (atunci se consideră zero). Componentele rămase de tip canonic, precum elementele diagonalei și unității, sunt zero.

Tip triunghiular

Una dintre cele mai importante tipuri de matrice, folosită în căutarea determinantului său și atunci când efectuează operații simple. Tipul triunghiular este derivat din tip diagonal, deci matricea este de asemenea pătrată. Forma triunghiulară a matricei este divizată în triunghiular superior și triunghiular inferior.

În matricea triunghiulară superioară (Figura 1) numai elementele care sunt deasupra diagonalei principale iau o valoare egală cu zero. Componentele diagonalei în sine și partea din matricea sub ea conțin valori numerice.

În triunghiul inferior (Figura 2), dimpotrivă, elementele situate în partea inferioară a matricei sunt egale cu zero.

Matricea pasului

O vedere este necesară pentru a găsi rangul matricei, precum și pentru acțiunile elementare pe ele (împreună cu un tip triunghiular). Matricea pas este denumită așa deoarece conține "pași" caracteristici de zerouri (așa cum se arată în figură). În tipul pas cu pas, se formează o diagonală de zerouri (nu neapărat cea principală) și toate elementele aflate sub diagonala dată au valori egale cu zero. O condiție prealabilă este următoarea: dacă există un șir nul în matricea pasului, liniile rămase de mai jos nu conțin valori numerice.

Astfel, am examinat cele mai importante tipuri de matrice necesare pentru a lucra cu ele. Acum, să examinăm problema transformării matricei în forma necesară.

Reducerea formei triunghiulare

Cum să aduceți matricea într-o formă triunghiulară? Cel mai adesea în sarcini este necesar să transformăm matricea într-o formă triunghiulară pentru a găsi determinantul său, numit determinant într-un alt mod. Efectuând această procedură, este extrem de important să "păstrăm" diagonala principală a matricei, deoarece determinantul matricei triunghiulare este exact produsul componentelor diagonalei principale. De asemenea, voi aminti metodele alternative pentru găsirea determinantului. Determinantul tipului pătrat este găsit prin intermediul unor formule speciale. De exemplu, puteți utiliza metoda triunghiului. Pentru alte matrice, folosiți metoda de descompunere pentru un rând, o coloană sau un element. De asemenea, puteți aplica metoda minorilor și a adaosurilor matrice algebrice.

Să examinăm în detaliu procesul de reducere a matricei într-o formă triunghiulară pe exemplele unor sarcini.

Alocarea 1

Este necesar să se găsească determinantul matricei prezentate, folosind metoda de reducere a acesteia la forma triunghiulară.

Matricea dată nouă este o matrice pătrată a ordinii a treia. Prin urmare, pentru ao transforma într-o formă triunghiulară, trebuie să facem două componente ale primei coloane și o componentă a celei de-a doua coloane zero.

Pentru a-l aduce la o formă triunghiulară, începe să se transforme în colțul din stânga jos al matricei - cu numărul 6. În scopul de a se trage la zero înmulțim primul rând trei și scade-l din ultimul rând.

Important! Linia superioară nu se modifică, dar rămâne aceeași ca în matricea originală. Nu este nevoie să înregistrați o linie de patru ori mai mare decât cea originală. Valorile rândurilor, ale căror componente trebuie să fie zero, se schimbă în mod constant.

Apoi, să luăm următoarea valoare, un element al celui de-al doilea rând al primei coloane, cu 8. Se multiplică prima linie cu patru și se scade din al doilea rând. Obținem zero.

Numai ultima valoare rămâne - elementul al treilea rând al celei de-a doua coloane. Acest număr este (-1). Pentru ao transforma la zero, scade a doua din prima linie.

Efectuați verificarea:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Prin urmare, răspunsul la sarcină: -22.

Activitatea 2

Este necesar să găsim determinantul matricei prin metoda reducerii acesteia la o formă triunghiulară.

Matricea prezentată aparține tipului de pătrat și este o matrice a ordinii a patra. Prin urmare, este necesar să zero zero trei componente ale primei coloane, două componente ale celei de-a doua coloane și o componentă a celei de-a treia.

Începem prin reducerea acestuia de la elementul din colțul din stânga jos, de la numărul 4. Trebuie să transformăm acest număr la zero. Este mai convenabil să faceți acest lucru prin înmulțirea celor patru linii superioare, apoi scăzând-o de la a patra. Scriem rezultatul primei etape a transformării.

Astfel, componenta celui de-al patrulea rând este zero. Să trecem la primul element al liniei a treia, la numărul 3. Facem o operație similară. Înmulțiți primele trei linii cu trei, scădeți-o de la a treia linie și scrieți rezultatul.

Apoi vedem numărul 2 în al doilea rând. Repetați operația: înmulțiți rândul de sus cu două și scădeați-l de la al doilea.

Am reușit să transformăm toate componentele din prima coloană a matricei pătrate date la zero, cu excepția numărului 1 - elementul diagonalei principale care nu necesită o transformare. Acum este important să păstrați zerourile rezultate, așa că vom efectua conversii cu șiruri de caractere, nu cu coloane. Să trecem la a doua coloană a matricei prezentate.

Din nou, începeți din partea de jos - din a doua coloană a ultimei linii. Acest număr este (-7). Cu toate acestea, în acest caz este mai convenabil să începeți cu numărul (-1) - elementul celei de-a doua coloane a rândului al treilea. Pentru ao transforma la zero, scădem a doua din linia a treia. Apoi multiplicați al doilea rând cu șapte și scade-l de la al patrulea rând. Avem un zero în loc de un element situat în cel de-al patrulea rând al celei de-a doua coloane. Acum mergeți la a treia coloană.

În această coloană, trebuie să zero doar un număr - 4. Pentru a face acest lucru este simplu: trebuie doar să adăugați a treia linie la ultima linie și să vedeți zero cerut.

După toate transformările care s-au făcut, am redus matricea propusă într-o formă triunghiulară. Acum, pentru a-și găsi determinantul, trebuie doar să multiplicăm elementele rezultate ale diagonalei principale. Avem: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. În consecință, soluția este numărul 160.

Deci, acum întrebarea de a aduce matricea într-o vedere triunghiulară nu va îngreuna pentru voi.

Reducerea la o formă pas cu pas

În operațiile elementare pe matrice, forma pas cu pas este mai puțin "revendicată" decât cea triunghiulară. Cel mai adesea este folosit pentru a găsi rangul unei matrice (adică numărul rândurilor sale non-zero) sau pentru a determina rânduri liniar dependente și independente. Cu toate acestea, forma pas cu pas a matricei este mai universală, deoarece este potrivită nu numai pentru tipul pătrat, ci și pentru toate celelalte.

Pentru a aduce matricea într-o formă treptată, mai întâi trebuie să-i găsiți determinantul. Pentru a face acest lucru, metodele de mai sus sunt potrivite. Scopul găsirii determinantului este următorul: să aflăm dacă este posibil să o convertim într-o formă asemănătoare unei matrice. Dacă factorul determinant este mai mare sau mai mic decât zero, atunci puteți trece în siguranță la sarcină. Dacă este egal cu zero, nu este posibil să se efectueze reducerea matricei într-o formă pas cu pas. În acest caz, trebuie să verificați dacă există erori în înregistrare sau în transformări de matrice. Dacă nu există astfel de inexactități, sarcina nu poate fi rezolvată.

Să analizăm modul de a aduce matricea într-o formă asemănătoare pas cu exemplele mai multor sarcini.

Alocarea 1. Găsiți rangul acestei tabele de matrice.

Înainte de noi este o matrice pătrată de ordinul trei (3x3). Știm că pentru a găsi un rang este necesar să-l aducem într-o formă asemănătoare pasului. Prin urmare, mai întâi trebuie să găsim determinantul matricei. Folosim metoda triunghi: DETA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinantul este 12. Este mai mare decât zero, astfel încât matricea poate fi redusă la o formă asemănătoare pasului. Să trecem la transformările ei.

Să începem cu coloana din stânga a celui de-al treilea rând - numărul 2. Înmulți rândul de sus cu două și scădeți-l de la al treilea rând. Datorită acestei operații, atât elementul necesar pentru noi, cât și numărul 4 - elementul celei de-a doua coloane a celui de-al treilea rând - au dispărut.

Apoi, vom zero elementul al doilea rând din prima coloană - numărul 3. Pentru a face acest lucru, multiplicați rândul de sus cu trei și scade-l de la al doilea.

Vedem că, ca urmare a reducerii, sa format o matrice triunghiulară. În cazul nostru, transformarea nu poate fi continuată, deoarece componentele rămase nu pot fi reduse la zero.

Prin urmare, putem concluziona că numărul de linii care conțin valorile numerice în matrice (sau gradul) - 3. Răspunsul la alocarea: 3.

Alocarea 2. Determinați numărul de rânduri liniar independente dintr-o matrice dată.

Trebuie să găsim linii care nu pot fi convertite la zero de nici o transformare. De fapt, trebuie să găsim numărul de rânduri non-zero sau rangul matricei reprezentate. Pentru a face acest lucru, o vom simplifica.

Vedem o matrice care nu aparține tipului de pătrat. Măsoară 3x4. Să începem turnarea din colțul din stânga jos - numărul (-1).

Adăugați prima linie la cea de-a treia. Apoi, scădem al doilea din ea pentru a converti numărul 5 la zero.

Alte conversii sunt imposibile. Prin urmare, concluzionăm că numărul de rânduri liniar independente din acesta și răspunsul la sarcină este de 3.

Acum, aruncarea matricei într-o formă treptată nu este o sarcină imposibilă pentru dvs.

Pe exemplele acestor sarcini am analizat reducerea matricei într-o formă triunghiulară și o vedere în trepte. Pentru a reduce la zero valorile necesare ale tabelelor de matrice, în unele cazuri este necesar să se arate imaginația și să se transforme corect coloanele sau șirurile lor. Vă urez succes în matematică și în lucrul cu matrice!