Как найти площадь трапеции?

Перед тем как найти площадь трапеции, необходимо дать ее определение.

Трапеция – геометрическая фигура с четырьмя углами, у которой две стороны параллельны друг другу, а две другие - нет. Две стороны, что параллельны друг другу, зовут основаниями, а непараллельные - боковыми. Если стороны, которые являются боковыми, равны, трапеция будет называться равнобедренной. Если при пересечении они образуют прямой угол, она прямоугольная.

В алгебре есть еще понятие криволинейной трапеции – под ней понимают фигуру, ограниченную с одной стороны осью х, а с другой - графиком функции у=f(х) b и определенную на отрезке [a- b]

Как найти площадь трапеции

Рассчитывается такая геометрическая фигура по формуле S=0,5*(а + в)*h, где а и в –длина оснований трапеции, а h – ее высота.

Пример. Дана трапеция, одно основание которой равняется 2 см, второе - 3 см, а высота – 4 см. Рассчитываем площадь по формуле, получаем результат: S=0, 5*(2+3)*4 =12 см2.

Из этой же формулы следует, что, зная площадь этой фигуры, ее высоту, длину одной из сторон, можно найти длину другой. Второй вариант – зная длины сторон и площадь трапеции, можно найти ее высоту.

Пример. Дана трапеция, у которой одно основание длиннее другого в 3 раза. Высота фигуры – 3 см, площадь – 24см2. Требуется найти длину обоих оснований.

Решение. Площадь рассчитывается по следующей формуле S=0,5*(а + в)*h. Из условий задачи ясно, что одна сторона больше другой в 3 раза, следовательно, а=3в. Заменим а в формуле и получим S=0,5*(3в + в)*h=0,5*4в* h. В итоге получим S=2в* h, то есть в = S/2h. Подставляем цифровые значения и получаем в = 6 см, а =18 см.

Впрочем, это не единственный способ, которым можно определить площадь этой фигуры. По второму методу, перед тем как найти площадь трапеции, можно разделить ее на простые геометрические фигуры: прямоугольник и два треугольника (или один треугольник, если речь идет о прямоугольной трапеции). В этом случае общая площадь будет вычисляться как сумма площадей этих фигур. Как вариант – можно вписать ее в прямоугольник, боковая сторона которого будет равняться длине большего из оснований. В этом случае площадь трапеции определится как разница площадей прямоугольника и треугольников.

Как найти площадь прямоугольной трапеции? Ранее уже говорилось, что прямоугольной трапецией можно назвать трапецию, у которой основание (назовем его а) и боковая сторона с пересекаются, образуя примой угол. Соответственно в указанной фигуре авсд сторона с будет являться высотой. Тогда, зная длину всех 3-х сторон, можно найти площадь фигуры S=0,5*(а + в)*с.

Самая простая формула выглядит следующим образом: S=к*h, где к – это длина средней линии трапеции, h – ее высота. Проблема в том, что на практике измерить длину оснований проще, чем найти среднюю линию. А находится она следующим образом:

Дано: неравносторонняя, непрямоугольная трапеция АВСД, в которой стороны АВ и СД являются основаниями. Перед тем как найти площадь трапеции, следует отрезки АС и ВД разделить на 2 равные части, обозначив точки пересечения буквами Г и К. Тогда прямая ГК, проведенная паралельно основаниям, и будет средней линией трапеции m.

Еще один частный случай - когда трапеция равносторонняя. Для нее подойдут все указанные формулы (конечно, кроме формул для прямоугольной). Ее площадь можно определить, зная угол между основаниями. Формула выглядит следующим образом:S = (а+в)*с*sin(х)*0,5, где а и в - длина оснований, с- длина боковой стороны, а х – угол между ними.

Иногда возникает необходимость определить площадь данной фигуры не только в геометрии, но и в алгебре по системе координат. В связи с этим у учащихся возникает вопрос, как найти площадь трапеции по координатам. Принцип вычисления тот же самый – определяют длины сторон, как разницу координат точек оснований, вычисляется высота и по первой формуле рассчитывается площадь. Высотой будет считаться прямая, проведенная от угла одного из оснований к другому основанию.

Для определения площади криволинейной трапеции пользуются интегралом.