Exemple de inducție. Metoda de inducție matematică: exemple de soluții

Adevărata cunoaștere în orice moment sa bazat pe stabilirea regularității și a dovedirii veridicității sale în anumite circumstanțe. Pentru o perioadă atât de lungă de existență a raționamentului logic, regulile au fost formulate, iar Aristotel a compilat chiar o listă a "raționamentului corect". Din punct de vedere istoric, este comună împărțirea tuturor concluziilor în două tipuri - de la concret la plural (inducție) și viceversa (deducere). Trebuie remarcat faptul că tipurile de dovezi de la privat la general și de la general la particular există doar în relație și nu pot fi folosite interschimbabil.

Inducția în matematică

Termenul "inducție" are rădăcini latine și este literalmente tradus ca "îndrumare". Cu un studiu aprofundat, putem distinge structura cuvântului, și anume, prefixul latin - în- (denotă acțiunea îndreptată în interiorul sau în interiorul) și -ducția - introducere. Trebuie remarcat faptul că există două tipuri - inducție completă și incompletă. O formă completă se caracterizează prin concluziile trase din studiul tuturor obiectelor unei anumite clase.

Incomplet - concluziile aplicate tuturor subiecților din clasă, dar făcute pe baza studiului doar a câtorva unități.

O inducție matematică completă este o inferență bazată pe o concluzie generală despre o întreagă clasă de obiecte care sunt legate funcțional de relațiile unui număr natural de numere pe baza cunoașterii acestei legături funcționale. Procesul de probă trece prin trei etape:

• prima dovedește corectitudinea poziției inducției matematice. Exemplu: f = 1, aceasta este baza inducție;
• Următoarea etapă se bazează pe ipoteza valabilității poziției pentru toate numerele naturale. Aceasta este, f = h, aceasta este ipoteza de inducție;
• a treia etapă dovedește valabilitatea poziției pentru numărul f = h + 1, pe baza corectitudinii poziției punctului anterior - aceasta este o tranziție de inducție sau o etapă de inducere matematică. Un exemplu este așa-numitul "Principiul Domino": dacă primul os scade într-un rând (baza), atunci toate oasele din rândul (tranziția) vor cădea.

Și pentru distracție și serios

Pentru simplitatea percepției, exemplele de rezolvare prin metoda de inducție matematică sunt expuse sub formă de probleme de glumă. Aceasta este sarcina "rândului politicos":

• Regulile de conduită interzic unui bărbat să se rotească în fața unei femei (într-o astfel de situație, este trecută înainte). Plecând de la această declarație, dacă ultimul în linie este un bărbat, atunci restul sunt bărbați.

Un exemplu frapant al metodei de inducție matematică este problema "zborului fără dimensiuni":

• Este necesar să se demonstreze că orice număr de persoane este plasat în microbuz. Este adevărat că o persoană poate fi cazată în interiorul transportului fără dificultăți (bază). Dar, indiferent cat de ocupat este microbuzul, un pasager se va potrivi intotdeauna (pasul de inductie).

Cercuri familiare

Exemple de soluții prin inducerea matematică a problemelor și a ecuațiilor sunt destul de des întâlnite. Ca o ilustrare a acestei abordări, putem lua în considerare următoarea problemă.

condiție: în plan sunt cercuri h. Este necesar să se demonstreze că pentru orice aranjament de figuri, cartela pe care o formează poate fi colorată corect cu două culori.

Soluția: pentru h = 1 adevărul afirmației este evident, prin urmare, dovada se va baza pe numărul cercurilor h + 1.

Presupunem că declarația este valabilă pentru orice card, iar h + 1 cercuri sunt date în avion. Eliminând unul din cercuri din total, puteți obține o culoare corectă cu două culori (alb-negru).

Atunci când restaurați un cerc șters, culoarea fiecărei regiuni se schimbă la opusul (în acest caz, în interiorul cercului). Se obține o hartă, corect colorată cu două culori, care urma să fie dovedită.

Exemple cu numere naturale

Mai jos este prezentată în mod clar aplicarea metodei de inducere matematică.

Exemple de soluții:

Dovada că pentru orice h se menține următoarea egalitate:

1²+2²+3²+hellip + h²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

soluţie:

1. Fie h = 1, atunci:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Rezultă că pentru h = 1 afirmația este corectă.

2. Presupunând că h = d, obținem ecuația:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Presupunând că h = d + 1, obținem:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²+2²+3²+hellip + d²+(d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= (d (d + 1) (2d + 1) + 6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) + 6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²+7d + 6) / 6 = (d + 1) (2 (d + 3/2) (d + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Astfel, validitatea egalității pentru h = d + 1 este dovedită, așadar afirmația este adevărată pentru orice număr natural, care este arătat în exemplul soluției prin inducție matematică.

sarcină

condiție: este necesar să se demonstreze că pentru orice valoare a h expresia 7^h-1 este divizibil cu 6 fără rest.

Soluția:

1. Să presupunem, h = 1, în acest caz:

R₁= 7¹-1 = 6 (adică, divizibil cu 6 fără restul)

Prin urmare, pentru h = 1 afirmația este validă;

2. Să presupunem că h = d și γ^d-1 este divizibil cu 6 fără reziduuri;

3. O dovadă a validității afirmației pentru h = d + 1 este formula:

R_d+1= 7^d+1-1 = 7,7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

În acest caz, primul termen este împărțit cu 6 conform ipotezei primului punct, iar al doilea este egal cu 6. Afirmația că 7^h-1 este divizibil cu 6 fără rest pentru orice număr pozitiv h - este valabil.

Greșelile judecăților

Adesea, în argumente se utilizează raționamente incorecte, din cauza inexactității construcțiilor logice utilizate. Practic, acest lucru se întâmplă atunci când structura și logica dovezii sunt încălcate. Un exemplu de raționament incorect poate servi drept ilustrație.

sarcină

condiție: aveți nevoie de dovezi că orice grămadă de pietre nu este o grămadă.

Soluția:

1. Să presupunem că h = 1, în acest caz în piatră 1 piatra și declarația este adevărată (baza);

2. Să presupunem că pentru h = d este adevărat că o grămadă de pietre nu este o grămadă (ipoteză);

3. Fie h = d + 1, ceea ce înseamnă că atunci când se adaugă încă o piatră, setul nu va fi un heap. Concluzia este că ipoteza este valabilă pentru toate h naturale.

Greseala constă în faptul că nu există o definiție a numărului de pietre pe care se formează o grămadă. O astfel de omisiune este numită o generalizare pripită în metoda inducerii matematice. Un exemplu care arată clar.

Inducția și legile logicii

Punct de vedere istoric, că exemple de inducție și deducere întotdeauna "mână mână în mână." Astfel de discipline științifice, cum ar fi logica, filosofia, le descriu sub formă de contrariu.

Din punctul de vedere al legii logicii în definițiile inductive se poate vedea dependența de fapte, iar adevărul premiselor nu determină corectitudinea afirmației care rezultă. Adesea, se obțin concluzii cu o anumită probabilitate și plauzibilitate, care, desigur, ar trebui verificate și confirmate prin cercetări suplimentare. Un exemplu de inducție în logică poate fi declarația:

În Estonia - o secetă, în Letonia - o secetă, în Lituania - o secetă.

Estonia, Letonia și Lituania sunt state baltice. În toate statele baltice seceta.

Din exemplul respectiv se poate concluziona că noile informații sau adevărul nu pot fi obținute prin metoda de inducție. Tot ceea ce poate fi luat în considerare este o anumită veridicitate a concluziilor. În plus, adevărul premiselor nu garantează aceleași concluzii. Cu toate acestea, acest fapt nu înseamnă că inducerea este vegetativă pe marginea deducerii: un număr mare de prevederi și legi științifice sunt justificate de metoda de inducție. Un exemplu este aceeași matematică, biologie și alte științe. Acest lucru se datorează în mare parte metodei de inducție completă, dar în unele cazuri se aplică și o parțială.

Venerabila vârstă de inducție lăsat-o să penetreze practic în toate sferele de activitate umană - este o știință și economie, și raționamentul de zi cu zi.

Inducția în mediul științific

Metoda de inducție necesită o atitudine scrupuloasă, deoarece prea mult depinde de numărul de studiat datele personale ale întregului: cât este mai mare numărul studiat, cu atât mai credibile rezultatul. Pe baza acestei legi speciale științifice obținute prin inducție, pentru o lungă perioadă de timp verificată la nivelul ipotezelor de probabilitate pentru izolarea și studierea tuturor posibilelor elemente structurale, conexiuni și influențe.

În știință, inducerea se bazează pe semne semnificative, cu excepția pozițiilor aleatorii. Acest fapt este important în legătură cu specificul cunoștințelor științifice. Acest lucru este văzut în mod clar în exemplele de inducție în știință.

Există două tipuri de inducție în lumea științifică (în legătură cu metoda de studiu):

1. inducție-selecție (sau selecție);
2. inducerea este o excepție (eliminare).

Primul tip diferă prin selectarea metodică (scrupuloasă) a eșantioanelor dintr-o clasă (subclase) din zonele sale diferite.

Un exemplu de inducție a acestei specii este următorul: argintul (sau sărurile de argint) purifică apa. Concluzia se bazează pe observații pe termen lung (un fel de selecție de confirmări și negări - selecție).

Al doilea tip de inducție se bazează pe rezultatele a stabili relații cauzale și circumstanțe care împiedică care nu îndeplinesc proprietățile sale, și anume universalitatea, secvență de timp și au nevoie de aderenta univocității.

Inducție și deducere din punctul de vedere al filosofiei

Dacă te uiți la retrospectiva istorică, termenul "inducție" a fost menționat pentru prima oară de Socrate. Aristotel a descris exemple de inducție în filosofie într-un dicționar terminologic mai apropiat, dar problema inducției incomplete rămâne deschisă. După persecuția siloglismului aristotelian, metoda inductivă a devenit recunoscută ca fiind fructuoasă și singura posibilă în știința naturală. Tatăl inducției ca metodă specială independentă este considerat Bacon, dar el nu a reușit să separe, așa cum cere contemporanii, inducția din metoda deductivă.

Dezvoltarea ulterioară a inducției a fost făcută de către J. Mill, care a considerat teoria inducției din poziția a patru metode de bază: consimțământul, diferența, resturile și schimbările corespunzătoare. Nu este surprinzător faptul că, până în prezent, aceste metode, atunci când sunt analizate în detaliu, sunt deductive.

Conștientizarea inconsistenței teoriilor lui Bacon și Mill a determinat oamenii de știință să studieze baza probabilistică a inducției. Cu toate acestea, și aici nu a fost fără extreme: s-au făcut încercări de a reduce inducția la teoria probabilității cu toate consecințele care decurg din aceasta.

Un vot de inducție de încredere este obținut în aplicații practice în anumite domenii și datorită preciziei metrice a bazei inductive. Un exemplu de inducție și deducere în filosofie poate fi considerat legea gravitației universale. La momentul descoperirii legii, Newton a reușit să o verifice cu o precizie de 4 procente. Și când a fost verificată după mai bine de două sute de ani, corectitudinea a fost confirmată cu până la 0,0001%, deși testul a fost efectuat de aceleași generalizări inductive.

Filosofia modernă acordă mai multă atenție deducerea care este dictată de dorința de logică de a se retrage din deja celebra cunoștințe noi (sau adevăr), fără a recurge la experiența, intuiția și termenii raționamentul „pur“. Atunci când se referă la adevărata premisa într-o metodă deductivă, în toate cazurile, rezultatul este o afirmație adevărată.

Această caracteristică foarte importantă nu trebuie să umbrească valoarea metodei inductive. Deoarece inducția, bazată pe realizările experienței, devine un mijloc de procesare a acesteia (inclusiv generalizarea și sistematizarea).

Inducția în economie

Inducția și deducerea au fost folosite de mult timp ca metode de cercetare a economiei și de prognoză a dezvoltării acesteia.

Spectrul de utilizare a metodei de inducție este destul de largă: studiul implementării indicatorilor de prognoză (profit, amortizare, etc ...) și o evaluare globală a stării de formare predpriyatiya- a unei politici eficiente pentru promovarea întreprinderilor pe baza faptelor și relațiile lor.

Aceeași metodă se aplică la inducerea „diagrame Shewhart“, în cazul în care în ipoteza proceselor de separare asupra statelor gestionate și negestionate că domeniul de aplicare al procesului inactiv gestionat.

Trebuie remarcat faptul că legile științifice sunt justificate și confirmate prin metoda de inducție, și ca economia este o știință, de multe ori folosesc analiza, teoria matematică a riscului și statistici, nu este surprinzător prezența inducției în lista de bază a metodelor.

Următoarea situație poate servi drept exemplu de inducție și deducere în economie. Creșterea prețului produselor alimentare (din coșul de consum) și bunurile esențiale îi împing pe consumatori să se gândească la costul ridicat în starea în stare (inducție). În același timp, din cauza costului ridicat prin metode matematice, se pot deduce indicatorii unei creșteri a prețurilor pentru bunuri sau categorii de bunuri distincte (deducere).

Cel mai des se referă la metoda de inducție, personalul de conducere, manageri, economiști. Pentru a putea suficient de sincer pentru a prezice dezvoltarea întreprinderii, comportamentul pe piață, efectele concurenței, are nevoie de o abordare inductiv-deductivă pentru analiza și prelucrarea informațiilor.

Un exemplu clar de inducție în economie, care se referă la judecăți eronate:

• Profitul companiei a scăzut cu 30% -
  Compania concurente și-a extins linia de produse -
  nimic altceva nu sa schimbat;
• politica de producție a unei companii concurente a determinat o reducere de 30% a profiturilor;
• prin urmare, este necesară punerea în aplicare a aceleiași politici de producție.

Exemplul este o ilustrare colorată a modului în care utilizarea ineficientă a metodei de inducție contribuie la ruina unei întreprinderi.

Deducerea și inducția în psihologie

Deoarece există o metodă, atunci, în mod logic, există o gândire organizată în mod corespunzător și (pentru utilizarea metodei). Psihologia ca știință care studiază procesele mentale, formarea lor, de dezvoltare, relații, interacțiuni, acordă o atenție la „deductivă“ gândire ca o formă de deducere și de inducție. Din păcate, paginile pe psihologia internetului este, practic, nici o justificare pentru integritatea metodei deductiv-inductivă. Desi psihologii profesionale sunt din ce în ce se confruntă cu manifestările de inducție - sau mai degrabă, concluzii eronate.

Un exemplu de inducție în psihologie, ca o ilustrare a judecăților eronate, este declarația: mama mea este înșelătoare, prin urmare, toate femeile sunt înșelătoare. Chiar și mai multe pot fi învățate din exemplele "inexacte" de inducție din viață:

• studentul nu este capabil de nimic dacă a primit o diplomă în matematică;
• el este un nebun;
• este inteligent;
• Pot face totul;

- și multe alte judecăți evaluative, derivate din promisiuni absolut aleatoare și, uneori, nesemnificative.

Trebuie remarcat faptul că, atunci când eroarea judecății umane vine la absurd, frontul de lucru vine la un terapeut. Unul dintre exemplele de inducție la numirea unui specialist:

"Pacientul este absolut sigur că culoarea roșie poartă pentru el doar un pericol în orice manifestare. În consecință, o persoană a exclus din viața sa această schemă de culoare - pe cât posibil. În mediul acasă, există multe oportunități pentru un trai confortabil. Puteți abandona toate obiectele de culoare roșie sau le puteți înlocui cu analogi realizați într-o altă schemă de culori. Dar în locurile publice, la serviciu, în magazin - este imposibil. Intr-o situatie de stres, un pacient trece printr-un "val de stari emotionale complet diferite de fiecare data, ceea ce poate fi periculos pentru ceilalti".

Acest exemplu de inducție, inconștient, se numește "idei fixe". În cazul în care acest lucru se întâmplă cu o persoană sănătoasă din punct de vedere mental, se poate vorbi despre o lipsă de organizare a activității gândirii. Dezvoltarea elementară a gândirii deductive poate deveni calea de a scăpa de stările compulsive. În alte cazuri, psihiatrii lucrează cu astfel de pacienți.

Exemplele rezultate dintr-o inducție mărturisesc că "ignoranța legii nu se eliberează din consecințe (judecăți eronate)".

Psihologii, care lucrează pe tema gândirii deductive, au compilat o listă de recomandări menite să ajute oamenii să stăpânească această metodă.

Primul punct este rezolvarea problemelor. Cum a fost posibil să se facă această formă de inducție, care este utilizat în matematică, ea poate fi considerată ca fiind „clasic“, și folosind această metodă promovează „disciplina“ a minții.

Următoarea condiție pentru dezvoltarea gândirii deductive este lărgirea orizontului (care crede cu claritate, afirmă în mod clar). Această recomandare direcționează "persoanele care suferă" în scanere științifice și informatice (biblioteci, site-uri web, inițiative educaționale, călătorii etc.).

Precizia este următoarea recomandare. La urma urmei, din exemple de utilizare a metodelor de inducție, este clar că este, din multe puncte de vedere, garanția adevărului declarațiilor.

Flexibilitatea minții a fost de asemenea evitată, implicând posibilitatea de a folosi diferite căi și abordări în rezolvarea sarcinii prezentate, precum și luarea în considerare a variabilității dezvoltării evenimentelor.

Și, desigur, observarea, care este principala sursă de acumulare experiență empirică.

În mod separat, ar trebui să menționăm așa-numita "inducție psihologică". Acest termen, deși rar, poate fi găsit pe Internet. Toate sursele nu dau nici o scurtă formulare a definiției acestui termen, ci se referă la „exemple din viața reală“, oferind astfel un nou tip de inducere a sugestie, unele forme de boli psihice, starea de extremă a psihicului uman. Din toate cele de mai sus, este clar că încercarea de a aduce „un nou termen“, bazându-se pe false (și de multe ori false) condamnă trimiterea experimentator spre aprobare false (sau pripite).

Trebuie remarcat faptul că trimiterea la experimente în 1960 (fără a specifica locul de desfășurare, numele experimentatori eșantionului de subiecți și cel mai important - scopul experimentului) arata ca, să-l puneți blând, neconvingătoare, iar afirmația că creierul percepe informația, fără a trece prin toate organele de percepție (fraza „senzație de efectele“, în acest caz, s-ar potrivi o mai organic), se ridică semne de întrebare asupra credulității și declarațiile necritice ale autorului.

În loc să încheiem

Regina științelor - matematică, folosește cu bună știință toate rezervele posibile ale metodei de inducție și deducere. Aceste exemple sugerează că superficial și ineptă (nechibzuit, cum se spune) aplicarea chiar și metoda cea mai precisă și fiabilă conduce întotdeauna la rezultate eronate.

In constiinta de masa a unei metode de deducere este asociat cu celebrul Sherlock Holmes, care în constructe sale logice folosește adesea exemple de inducție, în situațiile potrivite, profitând de deducere.

Articolul analizează exemple de aplicare a acestor metode în diverse științe și sfere ale activității umane.