Boala algebra. Algebra logicii. Elemente ale logicii matematice

În lumea modernă, folosim din ce în ce mai mult o varietate de mașini și gadgeturi. Și nu numai atunci când este necesar să se aplice puterea literalmente supraomenească: mutați sarcina să-l ridice la înălțimea, să sape tranșee lung și adânc, etc Mașini de astăzi se colectează roboți, alimente este gătit Multivarki și calcule aritmetice elementare produc calculatoare ... Din ce în ce mai des auzim expresia "algebra booleană". Poate că a venit timpul pentru a înțelege rolul ființelor umane în crearea de roboți și mașini capacitatea de a rezolva nu numai matematică, ci sarcini logice.

logică

Tradus din limba greacă, logica este un sistem ordonat de gândire care creează relații între condițiile date și vă permite să faceți deducții bazate pe ipoteze și ipoteze. Destul de des ne întrebăm reciproc: "Este logic?" Răspunsul răspunde la ipotezele noastre sau critică cursul gândirii. Dar procesul nu se oprește: continuăm să ne gândim.

Uneori numărul de condiții (introductiv) este atât de mare, iar interrelațiile dintre ele sunt atât de confuze și complexe încât creierul uman nu este capabil să "digereze" totul dintr-o dată. Poate dura mai mult de o lună (o săptămână, un an) pentru a înțelege ce se întâmplă. Dar viața modernă nu ne dă astfel de intervale de timp pentru luarea deciziilor. Și apelam la ajutorul computerelor. Și aici apare algebra logicii, cu legile și proprietățile ei. După ce am descărcat toate datele inițiale, permitem computerului să recunoască toate relațiile, să elimine contradicțiile și să găsească o soluție satisfăcătoare.

Matematică și logică

Cel mai faimos Gottfried Wilhelm Leibniz a formulat conceptul de "logică matematică", ale cărui sarcini erau accesibile doar unui cerc restrâns de oameni de știință. Un interes special în această direcție nu a provocat, iar până la mijlocul secolului al XIX-lea puțini știau despre logica matematică.

Interesul major în comunitățile științifice a fost provocat de o dispută în care englezul George Buhl și-a anunțat intenția de a crea o secțiune de matematică care nu avea absolut nicio aplicație practică. Așa cum ne amintim din istorie, la acel moment a fost dezvoltat activ producția industrială, au fost dezvoltate toate tipurile de mașini și mașini auxiliare, adică toate descoperirile științifice au avut o orientare practică.

Privind înainte, spunem că algebra booleană este cea mai utilizată parte a matematicii din lumea modernă. Așa că disputa i-a pierdut Boule.

George Boule

Personalitatea autorului merită o atenție deosebită. Chiar ținând seama de faptul că în trecut oamenii au devenit mai în vârstă decât încă nu putem să nu remarcăm că, la vârsta de 16 ani, J. Bull a predat la o școală din sat și, până la vârsta de 20 de ani, și-a deschis propria școală la Lincoln. Matematicianul a învățat perfect cinci limbi străine, iar în timpul său liber a fost citit de lucrările lui Newton și Lagrange. Și toate acestea sunt despre fiul unui lucrător simplu!

În 1839, Boule a trimis în primul rând lucrările sale științifice la Cambridge Mathematical Journal. Omul de știință avea 24 de ani. Opera lui Boole a fost atât de interesantă pentru membrii Societății Științifice Regale că în 1844 a primit o medalie pentru contribuția sa la dezvoltarea analiză matematică. Mai multe alte lucrări publicate, în care au fost descrise elementele de logică matematică, au permis tânărului matematician să preia postul de profesor la Colegiul Cork County. Amintiți-vă că el însuși nu a fost educat.

idee

În principiu, algebra booleană este foarte simplă. Există declarații (logice expresii), care, din punctul de vedere al matematicii, pot fi definite numai prin două cuvinte: "adevăr" sau "minciună". De exemplu, în primăvară copacii înfloresc - adevărul, în vara pe care o înnoptește - minciuni. Toată farmecul acestei matematici este că nu există o nevoie strictă de a folosi doar numerele. Orice propoziții cu un înțeles fără echivoc sunt perfect potrivite pentru algebra propozițiilor.

Astfel, algebra logică poate fi folosită literalmente peste tot: în planificarea și scrierea instrucțiunilor, analizarea informațiilor conflictuale despre evenimente și determinarea succesiunii acțiunilor. Cel mai important lucru este să înțelegem că nu contează cum am determinat adevărul sau falsitatea unei declarații. Din aceste "cum" și "de ce" ar trebui să fie abstractizate. Singurul lucru care contează este declarația de fapt: adevărat-fals.

Desigur, funcțiile algebrice ale logicii sunt importante pentru programare, care sunt scrise cu semnele și simbolurile corespunzătoare. Și pentru a le învăța înseamnă a stăpâni o nouă limbă străină. Nimic nu este imposibil.

Concepte și definiții de bază

Fără a intra în adâncimi, vom înțelege terminologia. Deci, algebra booleană presupune prezența:

• declarații;
• operații logice;
• funcții și legi.

Declarațiile sunt orice expresii afirmative care nu pot fi interpretate dublu. Ele sunt scrise sub formă de numere (5> 3) sau formulate cu cuvintele obișnuite (elefantul este cel mai mare mamifer). În acest caz, expresia "girafa nu are gât" are și dreptul de a exista, numai algebra booleană o va defini ca o "minciună".

Toate afirmațiile trebuie să fie lipsite de ambiguitate, dar ele pot fi elementare și compuse. Acestea din urmă utilizează conectivități logice. Adică, în compoziția algebrică propozițională se formează declarații prin adăugarea de elemente elementare prin operații logice.

Operații de algebră booleană

Ne amintim deja că operațiile din algebra propozițiilor sunt logice. La fel cum algebra numerelor utilizează operații aritmetice pentru a adăuga, scădea sau compara numere, elementele logicii matematice fac posibilă compunerea declarațiilor complexe, negarea sau calcularea rezultatului final.

Operații logice pentru formalizare și simplitate sunt scrise de formulele obișnuite pentru noi în aritmetică. Proprietățile algebrei booleene fac posibilă scrierea ecuațiilor și calcularea necunoscutelor. Operațiile logice sunt de obicei scrise folosind un tabel de adevăr. Coloanele sale definesc elementele de calcul și operațiunea care le este executată, iar rândurile arată rezultatul calculelor.

Acțiuni logice de bază

Cele mai frecvente operații în operațiile booleene sunt negarea (NOT) și logica AND și OR. Deci, puteți descrie aproape toate acțiunile din algebra judecăților. Vom studia în detaliu fiecare dintre cele trei operațiuni.

Refuzul (nu) se aplică numai unui element (operand). Prin urmare, operația de negare se numește unare. Utilizați următoarele simboluri pentru a scrie conceptul non-A: nu-A, Amacr-macr-macr- sau! A. În formă tabelară se arată astfel:

Pentru funcția de negare, următoarea afirmație este tipică: dacă A este adevărată, atunci A este falsă. De exemplu, Luna se învârte în jurul Pământului - adevărul - Pământul se învârte în jurul Lunii - o minciună.

Înmulțirea și adăugarea logică

O logică ȘI se numește operație de conjuncție. Ce înseamnă asta? Mai întâi, că poate fi aplicată la doi operanzi, adică eu este o operație binară. În al doilea rând, numai în cazul adevărului ambilor operanzi (și A și B) expresia însăși este adevărată. Proverbul "Răbdarea și lucrarea se vor simți" presupune că doar doi factori vor ajuta o persoană să facă față dificultăților.

Pentru scriere, se folosesc simbolurile Aand-B, Asdot-B sau AB.

Conjuncția este analogă cu multiplicarea în aritmetică. Uneori se spune o multiplicare logică. Dacă înmulțim elementele tabelului cu rânduri, obținem un rezultat similar gândirii logice.

Disjuncția se numește operația logică OR. Ea are o valoare de adevăr atunci când cel puțin una dintre ele declarațiile sunt adevărate (sau A sau B). Este scris astfel: Aor-B, A + B sau A || B. Tabelele de Adevăr pentru aceste operațiuni sunt:

Disjuncția este ca o adăugare aritmetică. Funcționarea adăugării logice are o singură restricție: 1 + 1 = 1. Dar ne amintim că în forma digitală logica matematică este limitată la 0 și 1 (unde 1 este adevărat, 0 este fals). De exemplu, afirmația "în muzeu puteți vedea o capodoperă sau întâlniți un interlocutor interesant" înseamnă că puteți vedea opere de artă și puteți să vă familiarizați cu o persoană interesantă. În același timp, nu este exclusă opțiunea de a realiza simultan ambele evenimente.

Funcții și legi

Deci, știm deja ce operații logice utilizează algebra booleană. Funcțiile descriu toate proprietățile elementelor logicii matematice și vă permit să simplificați condițiile complexe ale sarcinilor. Cel mai ușor de înțeles și simplu este proprietatea abandonării operațiunilor cu instrumente derivate. Derivații sunt exclusiv OR, implicare și echivalență. Deoarece ne-am familiarizat doar cu operațiunile de bază, vom lua în considerare doar proprietățile acestora.

asociativitatea înseamnă că, în declarații precum "și A, B și B", enumerarea operanzilor nu contează. Formula este urmatoarea:

(Aand-B) și -B = Aand- (Band-B) = Aand-Band-B,

(Aor-B) sau -B = Aor- (Bor-B) = Aor-Bor-B.

După cum vedem, acest lucru este deosebit nu numai pentru conjuncții, ci și pentru disjuncții.

comutativitatea susține că rezultatul unei conjuncții sau al unei disjuncții nu depinde de elementul care a fost considerat la început:

Aand-B = Band-A- Aor-B = BOR-A.

distributivitatea vă permite să deschideți paranteze în expresii logice complexe. Regulile sunt similare cu dezvăluirea parantezelor atunci când se înmulțește și se adaugă la algebra:

Aand- (Bor-B) = Aand-Bor-Aand-B- Aor-Band-B = (Aor-B) și (Aor-B).

Proprietățile unității și zero, care poate fi unul dintre operanzi, sunt, de asemenea, analogi cu multiplicarea algebrică cu zero sau una și adăugarea la una:

Aand-0 = 0, Aand-1 = A- Aor-0 = A, Aor-1 = 1.

idempotența ne spune că, dacă rezultatul operației se dovedește a fi similar cu doi operanzi egali, atunci puteți "arunca" operele suplimentare care complică cursul raționamentului. Atât conjuncția, cât și disjuncția sunt operații idempotent.

Band-Б = Б- Бор-Б = Б.

asimilare ne permite, de asemenea, să simplificăm ecuațiile. Absorbția afirmă că atunci când o operație cu același operand este aplicată unei expresii cu un singur operand, rezultatul este un operand din operația de absorbție.

Aand-Bor-B = B- (Aor-B) și B = B.

Secvență de operațiuni

Secvența operațiilor nu are o importanță prea mică. De fapt, în ceea ce privește algebra, există o prioritate a funcțiilor care utilizează algebra booleană. Formulele pot fi simplificate numai dacă se observă importanța operațiunilor. Clasament de la cele mai semnificative la minore, obținem următoarea secvență:

1. Neagă.

2. Conjuncție.

3. Disjuncție excluzând OR.

4. Implicare, echivalență.

După cum vedem, doar negarea și conjuncțiile nu au priorități egale. Iar prioritatea disjuncției și OR exclusivă sunt egale, precum și prioritățile implicării și echivalenței.

Implicare și funcții de echivalență

Așa cum am spus deja, pe lângă operațiile logice de bază, logica matematică și teoria algoritmilor utilizează derivați. Implicația și echivalența cele mai frecvent utilizate.

Implicarea sau urmarea logică este o afirmație în care o acțiune este o condiție, iar alta este o consecință a împlinirii ei. Cu alte cuvinte, această propoziție cu pretextele "dacă ... atunci". "Îți place să călătorești, să-i iubești și să-l încarce." Adică, pentru patinaj este necesar să strângeți saniele pe deal. Dacă nu există dorința de a părăsi muntele, atunci nu trebuie să călăriți. Este scris astfel: A → B sau ArArr-B.

Echivalența presupune că acțiunea rezultată apare numai când ambii operanzi sunt adevărați. De exemplu, noaptea este înlocuită cu ziua (și numai atunci), când soarele se ridică din orizont. În limbajul logicii matematice, această afirmație este scrisă ca: Aequiv-B, AhArr-B, A == B.

Alte legi ale algebrei booleene

Algebra de judecată se dezvoltă și mulți oameni de știință interesați au formulat noi legi. Cele mai celebre sunt postulatele matematicianului scoțian O. de Morgan. El a observat și a definit astfel de proprietăți, cum ar fi negarea aproape, adăugarea și dubla negare.

Închideți Negarea sugerează că nu există o singură negare înainte de bracket: nu (A sau B) = nu A sau NOT B.

Când operandul este negat, indiferent de sensul său, plus:

Bandă-nu-B = 0- Bor-nu-B = 1.

Și, în sfârșit, negare dublă se compensează. Ie Înainte de operand negarea dispare sau rămâne doar una.

Cum de a rezolva testele

Logica matematică implică simplificarea ecuațiilor date. La fel ca în algebră, este mai întâi necesar ca condiția să fie cât mai ușoară posibil (să scapi de introducerea și operațiile complexe cu ei) și apoi să găsești răspunsul potrivit.

Ce putem face pentru a simplifica lucrurile? Transformați toate operațiile derivate la cele simple. Apoi, deschideți toate parantezele (sau vice versa, faceți paranteze pentru a scurta acest element). Următorul pas este de a aplica proprietățile algebrei booleene în practică (absorbția, proprietățile zero și unitățile, etc.).

În cele din urmă, ecuația trebuie să cuprindă un număr minim de necunoscute, unite prin operații simple. Este mai ușor să căutați o soluție dacă obțineți un număr mare de negări apropiate. Apoi răspunsul va apărea ca și cum ar fi el însuși.