Знаете ли вы, что значит `рациональный` и какие числа называются рациональными?

В далеком прошлом, когда еще не была придумана система исчисления, люди подсчитывали все на пальцах. С появлением арифметики и основ математики стало гораздо проще и практичнее вести учет товаров, продуктов, а также бытовых предметов. Однако как выглядит современная система исчисления: на какие виды делятся существующие числа и что значит "рациональный вид чисел"? Давайте разберемся.

Сколько разновидностей чисел существует в математике?

Само понятие "число" обозначает некую единицу любого предмета, которая характеризует его количественные, сравнительные или порядковые показатели. Для того чтобы правильно подсчитать количество определенных вещей или провести некие математические операции с числами (сложить, умножить и др.), в первую очередь следует ознакомиться с разновидностями этих самых чисел.

Итак, существующие числа можно разделить по следующим категориям:

1. Натуральные - это те числа, которыми мы подсчитываем количество предметов (самое меньшее натуральное число равно 1, логично, что ряд натуральных чисел бесконечен, т. е. не существует наибольшего натурального числа). Множество натуральных чисел принято обозначать буквой N.
2. Целые числа. К этому множеству относятся все натуральные числа, при этом в него добавляются и отрицательные значения, включая число "ноль". Обозначение множества целых чисел записывают в виде латинской буквы Z.
3. Рациональные числа - это те, которые мы мысленно можем преобразовать в дробь, числитель которой будет принадлежать множеству целых чисел, а знаменатель - натуральных. Чуть ниже мы разберем подробнее, что значит "рациональное число", и приведем несколько примеров.
4. Действительные числа - множество, в которое входят все рациональные и иррациональные числа. Обозначается данное множество буквой R.
5. Комплексные числа содержат в себе часть действительного и часть переменного числа. Используются комплексные числа в решении различных кубических уравнений, которые, в свою очередь, могут иметь в формулах под знаком корня отрицательное выражение (i²= -1).

Что значит "рациональный": разбираем на примерах

Если рациональными считаются те числа, которые мы можем представить в виде обыкновенной дроби, то получается, что все положительные и отрицательные целые числа также входят в множество рациональных. Ведь любое целое число, например 3 или 15, можно представить в виде дроби, где в знаменателе будет единица.

Дроби: -9/3- 7/5, 6/55 - вот примеры рациональных чисел.

Что значит "рациональное выражение"?

Идем дальше. Мы уже разобрали, что значит рациональный вид чисел. Давайте теперь представим себе математическое выражение, которое состоит из суммы, разности, произведения или частного различных чисел и переменных. Вот пример: дробь, в числителе которой сумма двух или нескольких целых чисел, а знаменатель содержит в себе как целое число, так и некую переменную. Именно такое выражение и называют рациональным. Исходя из правила "на ноль делить нельзя" можно догадаться, что значение данной переменной не может быть таковым, чтобы значение знаменателя обращалось в ноль. Поэтому при решении рационального выражения следует сначала определить область значения переменной. Например, если в знаменателе следующее выражение: x+5-2, то получается, что "x" не может быть равен -3. Ведь в таком случает все выражение превращается в ноль, поэтому при решении необходимо исключить целое число -3 для данной переменной.

Как правильно решать рациональные уравнения?

Рациональные выражения могут содержать в себе довольно-таки большое количество чисел и даже 2 переменные, поэтому порой их решение становится затруднительным. Для облегчения решения такого выражения рекомендуется произвести некие операции рациональным путем. Итак, что значит "рациональным способом" и какие правила необходимо применять при решении?

1. Первый вид, когда достаточно всего лишь упростить выражение. Для этого можно прибегнуть к операции сокращения числителя и знаменателя до несокращаемой величины. Например, если в числителе имеется выражение 18x, а в знаменателе 9х, то, сокращая оба показателя на 9x, получаем просто целое число, равное 2.
2. Второй способ практичен тогда, когда в числителе имеем одночлен, а в знаменателе - многочлен. Разберем на примере: в числителе имеем 5x, а в знаменателе - 5x + 20x². В таком случае лучше всего вынести переменную в знаменателе за скобки, получим следующий вид знаменателя: 5x(1+4x). А теперь можно воспользоваться первым правилом и упростить выражение, сократив 5x в числителе и в знаменателе. В итоге получим дробь вида 1/1+4x.

Какие действия можно выполнять с рациональными числами?

Множество рациональных чисел имеет ряд своих особенностей. Многие из них весьма схожи с характеристикой, присутствующей у целых и натуральных чисел, ввиду того что последние всегда входят в множество рациональных. Вот несколько свойств рациональных чисел, зная которые, можно с легкостью решить любое рациональное выражение.

1. Свойство коммутативности позволяет суммировать два или несколько чисел, вне зависимости от их очередности. Проще говоря, от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
2. Свойство дистрибутивности позволяет решать задачи с помощью распределительного закона.
3. И, наконец, операции сложения и вычитания.

Даже школьники знают, что значит "рациональный вид чисел" и каким образом решать задачи на основе таких выражений, поэтому взрослому образованному человеку просто необходимо вспомнить хотя бы азы множества рациональных чисел.