Ce este un fractal? Fractalii în natură

Deseori descoperirile strălucite, comise în știință, ne pot schimba drastic viețile. De exemplu, inventarea unui vaccin poate salva o mulțime de oameni, iar crearea de noi arme duce la crimă. Literalmente ieri (în scara istoriei), o persoană "a îmblânzit" energia electrică și astăzi nu-și poate imagina viața fără el. Cu toate acestea, există, de asemenea, astfel de descoperiri, care, spun ei, rămân în umbre și în ciuda faptului că ele au o anumită influență asupra vieții noastre. Una dintre astfel de descoperiri a fost un fractal. Majoritatea oamenilor nu au auzit nici măcar despre acest concept și nu vor putea explica semnificația acestuia. În acest articol vom încerca să înțelegem ce este un fractal, să considerăm sensul acestui termen din poziția științei și naturii.

Comandă în haos

Pentru a înțelege ce este un fractal, ar trebui să începeți analiza zborurilor din poziția de matematică, dar înainte de a vă alătura științele exacte, suntem un pic filozofi. Fiecare persoană are o curiozitate naturală, prin care el cunoaște lumea din jurul lui. Deseori în căutarea cunoașterii, el încearcă să opereze cu logică în judecățile sale. Deci, analizând procesele care apar în jurul, el încearcă să calculeze relațiile și să obțină anumite regularități. Cele mai mari minți ale planetei sunt angajate în rezolvarea acestor probleme. Aproape vorbind, oamenii de știință caută modele care nu există și nu ar trebui să fie. Și totuși, chiar și în haos, există o legătură între aceste evenimente sau acele evenimente. Aceasta este legătura care este fractal. De exemplu, considerați o ramură ruptă situată pe drum. Dacă ne uităm îndeaproape la ea, vom vedea că este ca un copac cu toate ramurile și nodurile sale. Această similitudine a unei părți separate cu un singur întreg mărturisește așa-numitul principiu al auto-asemănării recursive. Fractalele în natură se găsesc foarte des, deoarece multe forme anorganice și organice se formează în mod similar. Sunt nori, cochilii de mare, cochilii de melci și coroane de copaci și chiar sistemul circulator. Această listă poate fi continuată pe o perioadă nedeterminată. Toate aceste forme aleatoare descriu cu ușurință un algoritm fractal. Aici am ajuns să analizăm ce este un fractal din poziția științelor exacte.

Câteva lucruri uscate

Cuvântul "fractal" în latină este tradus ca "parțial", "împărțit", "fragmentat", iar în ceea ce privește conținutul acestui termen, nu există o formulă ca atare. De obicei, este tratat ca un set auto-similar, o parte a întregului, repetat de structura sa la nivel micro. Acest termen a fost inventat în anii șaptezeci ai secolului al XX-lea de către Benoit Mandelbrot, care a fost recunoscut de tatăl său fractal geometrie. Astăzi, conceptul de fractal implică o reprezentare grafică a unei structuri care, ca o scară mărită, va fi similară cu ea însăși. Cu toate acestea, baza matematică pentru crearea acestei teorii a fost pusă chiar înainte de nașterea lui Mandelbrot însuși, dar nu se putea dezvolta până când nu au apărut computerele electronice.

Referința istorică sau cum a început totul

La începutul secolului al XIX-lea și al XX-lea, studiul naturii fractalilor a fost episodic. Acest lucru se datorează faptului că matematicienii preferau să studieze obiecte care pot fi studiate pe baza teoriilor și metodelor generale. În 1872, matematicianul german, K. Weierstrass, a construit un exemplu de funcție continuă, care nu poate fi diferențiată. Totuși, această construcție sa dovedit a fi în întregime abstractă și dificil de perceput. Apoi a venit suedezul Helge von Koch, care în 1904 a construit o curbă continuă, care nicăieri nu are o tangență. Este destul de ușor de desenat și, după cum sa dovedit, se caracterizează prin proprietăți fractale. Una dintre variantele acestei curbe a fost numită în onoarea autorului său - "fulg de zăpadă Koch". În plus, ideea de auto-similaritate a cifrelor a fost dezvoltată de viitorul instructor al lui B. Mandelbrot, francezul Paul Levy. În 1938 a publicat un articol "Curbele plane și spațiale și suprafețele constând din părți ca întregul". În el a descris o nouă specie - curba C a lui Levy. Toate cifrele de mai sus sunt condiționate în mod condiționat de forma, ca fracturi geometrice.

fractali dinamice, sau algebrice

Această clasă include setul Mandelbrot. Primii cercetători ai acestei direcții au fost matematicienii francezi Pierre Fatou și Gaston Julia. În 1918, Julia a publicat o lucrare bazată pe studiul iterațiilor funcțiilor complexe raționale. Aici a descris o familie de fractali care sunt strâns legate de setul Mandelbrot. În ciuda faptului că această lucrare a glorificat autorul printre matematicieni, a fost rapid uitat. Și numai după o jumătate de secol, datorită computerelor, lucrarea lui Julia a primit oa doua viață. Computerele au permis să facă din fiecare persoană vizibilă frumusețea și bogăția lumii fractale care ar putea "vedea" matematicienii, arătându-i prin funcții. Mandelbrot a fost primul care a folosit un calculator pentru a efectua calcule (un astfel de volum nu poate fi făcut manual), ceea ce a permis construirea unei imagini a acestor cifre.

Un om cu imaginație spațială

Mandelbrot și-a început cariera științifică la centrul de cercetare IBM. Studiind posibilitățile de transmitere a datelor pe distanțe lungi, oamenii de știință s-au confruntat cu pierderi mari care au apărut din cauza interferențelor sonore. Benoit căuta modalități de a rezolva această problemă. Privind rezultatele măsurătorilor, el a atras atenția asupra unui model ciudat, și anume: graficele de zgomot arătau la fel în diferite grade de timp. O imagine similară a fost observată pentru o perioadă de o zi și timp de șapte zile sau o oră. Benois Mandelbrot însuși adeseori spunea că nu lucrează cu formule, ci se joacă cu imagini. Acest om de știință sa deosebit în gândirea figurativă, a tradus orice problemă algebrică într-un domeniu geometric, unde răspunsul corect este evident. Deci, nu este surprinzător, că o astfel de persoană, caracterizat bogat gândirea spațială, și a devenit tatăl geometriei fractale. La urma urmei, conștientizarea acestei cifre poate veni numai atunci când studiați desenele și gândiți-vă la semnificația acestor răstălmăciri ciudate care formează modelul. Modelele fractale nu au elemente identice, dar au o asemănare la orice scară.

Julia - Mandelbrot

Unul dintre primele desene ale acestei figuri a fost interpretarea grafică a setului, care sa născut datorită lucrărilor lui Gaston Julia și a fost modificată de Mandelbrot. Gaston a încercat să-și imagineze cum arată setul, construit pe baza unei simple formulări, pierdută de buclă de feedback. Să încercăm să explicăm ceea ce sa spus despre limbajul uman, ca să spunem așa, pe degete. Pentru o anumită valoare numerică, folosind formula, găsim o nouă valoare. Îl substituim în formulă și găsim următoarele. Ca rezultat, un mare secvență numerică. Pentru a reprezenta un astfel de set, este necesară efectuarea acestei operații de nenumărate ori: sute, mii, milioane. Așa a făcut Benoit. El a procesat secvența și a transferat rezultatele într-o formă grafică. Ulterior, a pictat figura care rezultă (fiecare culoare corespunde unui anumit număr de iterații). Această imagine grafică a fost numită "Mandelbrot Fractal".

L. Carpenter: artă creată de natură

Teoria fractalului a găsit rapid aplicarea practică. Deoarece este foarte strâns legată de vizualizarea imaginilor auto-similare, primii care adoptă principiile și algoritmii pentru construirea acestor forme neobișnuite sunt artiștii. Primul dintre aceștia a fost fondatorul viitoare al studioului Pixar Lauren Carpenter. Lucrând la prezentarea prototipurilor de aeronave, i sa întâmplat să folosească imaginea munților ca fundal. Astăzi, aproape fiecare utilizator de computer se poate ocupa de această sarcină, iar în anii șaptezeci ai secolului trecut computerele nu puteau efectua astfel de procese, deoarece editorii grafice și aplicațiile pentru grafica 3D la acel moment nu erau încă. Așa că Loren a prins cartea lui Mandelbrot "Fractalii: Formă, Accident și Dimensiune". În ea, Benoit a dat multe exemple, arătând că există fractale în natură (fyva), el a descris forma lor diversă și a susținut că acestea sunt ușor de descris de expresii matematice. Matematicianul a citat această analogie ca argument pentru utilitatea teoriei pe care a dezvoltat-o ​​ca reacție la o fluturi de critici din partea colegilor săi. Ei au susținut că fractalul este doar o imagine frumoasă, care nu are nicio valoare, care este un produs secundar al lucrării mașinilor electronice. Carpenter a decis să încerce această metodă în practică. După studierea cu atenție a cărții, viitorul animator a început să caute o modalitate de a implementa geometria fractală în grafica computerizată. L-au luat doar trei zile pentru a vizualiza o imagine foarte realistă a peisajului montan pe computerul său. Și astăzi acest principiu este utilizat pe scară largă. După cum sa dovedit, crearea de fractali nu ia mult timp și efort.

Soluția lui Carpenter

Principiul folosit de Lauren era simplu. Se compune din împărțirea celor mai mari forme geometrice pe elemente mici, și pe cele - pe dimensiuni similare mai mici, și așa mai departe. Carpenter, folosind triunghiuri mari, le-a zdrobit în 4 mici și așa mai departe, până când a obținut un peisaj montan realist. Astfel, el a devenit primul artist care a aplicat algoritmul fractal în grafica computerizată pentru a construi imaginea cerută. Astăzi, acest principiu este folosit pentru a simula diferite forme naturale realiste.

Prima vizualizare 3D a unui algoritm de fractal

Câțiva ani mai târziu, Lauren și-a folosit lucrările într-un proiect pe scară largă - clipul de animație Vol Libre, prezentat pe Siggraph în 1980. Acest videoclip a șocat pe mulți, iar creatorul acestuia a fost invitat să lucreze la Lucasfilm. Aici animator ar putea fi realizat pe deplin, el a creat un peisaj tridimensional (o intreaga planeta) pentru filmul „Star Trek“. Fiecare program modern ( „fractali“) sau o aplicație pentru crearea de grafică tridimensională (Terragen, Vue, Bryce) utilizează toate același algoritm pentru simularea de texturi și suprafețe.

Tom Beddard

În trecut, un fizician laser, acum un maestru digital și artist, Beddard a creat o serie de figuri geometrice foarte interesante, pe care le-a numit fracturi Faberge. În exterior, ele se aseamănă cu ouăle decorative ale unui bijutier rus, cu același model strălucit. Beddard a folosit o metodă șablon pentru a-și crea propriile vizualizări digitale ale modelelor. Produsele primite uimesc cu frumusetea. Deși mulți refuză să compare produsul manual cu un program de calculator, trebuie să recunoaștem că formele obținute sunt neobișnuit de frumoase. O evidenta este ca orice persoana interesata poate construi un astfel de fractal folosind biblioteca de software WebGL. Vă permite să explorați în timp real diferite structuri fractale.

Fractalii în natură

Puțini oameni sunt atenți, dar aceste figuri uimitoare sunt prezente peste tot. Natura este creată din figuri auto-similare, pur și simplu nu o observăm. Este suficient să privim printr-o lupă pe piele sau pe o frunză de copac și vom vedea fractali. Sau luați, de exemplu, un ananas sau chiar o coadă de păun - ele constau din cifre similare. O varietate de broccoli românesc Broccoli își uimește în general aspectul, pentru că se poate numi cu adevărat un miracol al naturii.

Pauză muzicală

Se pare că fractalii nu sunt doar figuri geometrice, ci și sunete. Deci, muzicianul Jonathan Colton scrie muzica folosind algoritmi fractali. El susține, că o astfel de melodie corespunde armoniei naturale. Compozitorul publică toate lucrările sale sub licența CreativeCommons Attribution-Noncommercial, care prevede distribuirea gratuită, copierea, transferul de lucrări de către alte persoane.

Indicatorul fractal

Această tehnică a găsit o aplicație foarte neașteptată. Pe baza sa, a fost creat un instrument de analiză a pieței bursiere și, ca rezultat, a fost utilizat pe piața valutară. Acum, indicatorul-fractal este pe toate platformele de tranzacționare și este folosit în echipamentele comerciale, care se numește o pauză de preț. Dezvoltat această tehnică de Bill Williams. Așa cum autorul comentează despre invenția sa, acest algoritm este o combinație de mai multe "lumânări", în care centrul reflectă punctul maxim sau, dimpotrivă, punctul extrem de minim.

În concluzie

Deci ne-am uitat la ceea ce este un fractal. Se pare că în haosul care ne înconjoară, de fapt, există forme ideale. Natura este cel mai bun arhitect, ideal constructor și inginer. Este aranjat destul de logic și dacă nu găsim legea, aceasta nu înseamnă că nu există. Poate că trebuie să o căutați pe o scară diferită. Cu încredere, putem spune că fractalii păstrează multe secrete pe care trebuie doar să le deschidem.